素数の研究を2進法の表記で行う利点はありますか

Question

素数を各桁の偶数と奇数の並び方などから何か出てこないかということですが、10進法より2進法のほうが規則のようなものが見つけやすいかとも考えています。素数を研究している人は表記などは問題にしないのでしょうか。

QoooL · Accepted Answer

＃１、２です。素早いお礼の方もありがとうございます。

「規則のようなものを見つける」　というご質問の最も近い回答を思いつきましたので補足します。

まずですね、
規則そのものはまだ見つかっていないです。あくまでも見つかっているのは
規則のようなもの　です。
１０進数ですら、「素数にどういう規則があるか」はわからないので、
２進数で「まだ」見つかっていないのは明らかですね。
だって、逆に言えば、２進数で素数についての規則が見つかっていれば、それを１０進数に置き換えて、
２のなんとか乗の～　と言えるはず
ですから。
素数の規則を発見すれば、正に「数学界のノーベル賞」ものでしょう。

ただ、過去何千年間も、素数の規則については、研究が重ねられているようですよ。
既にウィキペディアの「素数」のページはご覧になっていることと思います。
双子素数、という予想は私にもわかりやすかったです。１１　と　１３、８５７　と　８５９　などですね。
１２±１、８５８±１　と表せることが美しいです（ちなみに　８５８＝２ｘ３ｘ１４３）。

で、私が示唆するのは、
　　　「コンピューターはどうやって、暫定最大の素数を割り出しているのだろう」
　　　ということを考えれば（資料を見つければ）、ディジタルで素数を研究するメリットも自ずと
　　　見つかるのではないか
ということです。
　　　メルセンヌ素数: 2^n － 1
だけ調べているんでしょうね。

---------------
2013年12月現在で知られている最大の素数は、2013年1月に発見された、現在分かっている中で48番目のメルセンヌ素数 ２の57885161乗 － 1 であり、
十進法で表記したときの桁数は　1742万5170桁　に及ぶ。
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２の57885161乗 － 1　の次は
２の57885162乗 － 1
２の57885163乗 － 1
と順番に調べていき、その間はすっ飛ばしているのでしょう。
　　　「最大の」素数を探すのが目的であり、全ての素数を求めるのは目的ではない
からですね。

ただ、２倍２倍で調べる、ということは、理にかなっていると感じます。
例えば我々が　マニュアルで　素数を探すとしますね。
「ある数」１百万とするとき、２～１００００００　の間の素数を一所懸命、「ある数より小さい数で割れるかどうか」という方法で探します。
ただ、ご存知の通り、「ある数」以下の全ての自然数で割り算を試す必要はないわけです。
　　２で割れなかったら、４でも割れないし６でも割れないし、
　　３で割れなかったら、６でも割れないし９でも割れないし、
　　素数で割れるかどうか　（「ある数」以下の素数を因数に持つかどうか）
を調べれば充分ですし、
　　２ｘ５０００００
　　５ｘ２０００００
がわかれば、
　　５０００００ｘ２
　　２０００００ｘ５
はもう調べる必要はありません。つまり、
　　√１００００００、１０００まで調べれば充分
なのです。
　　２～１０００　の間の素数
だったら、まだ　手計算できそうな気がしますね。

メルセンヌ素数 ２の57885161乗 － 1 の予言も、これに近いのではないでしょうか？
　１１１１１１１　が２の７乗－１　です。７は、７ビットです。
１１１１１１１１　が２の８乗－１　です。８は、８ビットです。

ここから先は、どうやって
１１１１１１１１　が
　　　　　　１１　で割れない　かつ
　　　　　１１１　で割れない　かつ
　　　　１１１１　で割れない　かつ
　　　１１１１１　で割れない　かつ
　　１１１１１１　で割れない　かつ
　１１１１１１１　で割れない　かどうか
を計算するのか、詳しいことはわかりません。
ただ、２進数の割り算の方法については、
　　「桁をずらしながら引き算をすれば、割り算ができます」
と
　　http://ednjapan.com/edn/articles/1307/16/news002_2.html
に記してあります。これぞ正に、
　　素数の研究を2進法の表記で行う利点
じゃないですか？

先に言った通り、
１１１１１１１１　が素数であることが仮に示されたとしても、
１１１１１１１　～　１１１１１１１１　の間に他の素数がないということではない
ですよ。
ただ、０と１、つまり、白と黒の模様を眺めていると、何か規則性が見つかってきそうな妄想・空想・美想（？）にとらわれますよね。
まるでダ・ヴィンチ・コードのような荒唐無稽な話ですが、素数を２進数で書き並べて、適当な所で改行してポスター用紙一面に埋め尽くすと、モナ・リザのような絵画が現れるかも知れません。
　　　エラトステネスの篩（ふるい）もある意味絵画だ
と私は感じますからね。

数学を研究している人は、表記を私たち以上に気にすると思いますよ。
例えば　対数で考えたり。指数で考えたり。
一般人は自然数を　１、２、３、　という序列で捉えますが、
素数など自然数全体を考えている専門家は　１、１０、１００、　（２進数ではなく一十百）という序列で捉えている
かも知れません。２００と２０００は専門家にとっては「かなり似ている数」なのかな、と勝手に想像します。

で、その拡張で、ｌｏｇ　など以外に、
　　「素数を考えるとき専用の関数」　を定義したりする
ことも予想できます。その中に、底２の指数　が入っていても不思議はない　のではないでしょうか。
２というのは、１と１を足す、ということを考えれば、まるで　Ｏ　と　Ｏ2　（酸素原子と分子）のように、基本単位の１つのようにも見えますし。
全て素人（私）の戯れ言ですよ！

QoooL · Answer

＃１です。

整数っていうか自然数ですけど、そこはあまり突っ込まないでください、
素人ですみません。

人間が１０進法を使うのはご存知の通り
　　「両手の指が１０本だから」とする解釈が通説
だと思いますが、
　　「では、我々の指が６本・６本だったらどうなったのだろう？　４本なら？」
と想像して、何か共通のルールはないか、という原理に興味を持つのは自然なこと、と想像します。

論文を書くときには当然、１０進数で書かないと、我々の共通言語にならないから不便ですけどね。
（９進法や１１進法で説明されても混乱するでしょう。）

私の場合には、「９進法で割り算を考える」「２進法で割り算を考える」という時点で既にパニックですけどね。
でも、２進法はメリットが極めて大きい「言語」だと思いますよ。

私は、からくりを設計することがあるんですけど、つまり、ストッパーが利いている、いないで、下流のからくりが制御されるわけです。箱根細工の秘密箱、というローカルおもちゃのように。
金庫などの鍵も、リアルに、ストッパーが利いているか、いないか　ですよね。
最近は、ディンプルキーなどで３進法も出てきたようですが。
だから、私のような素人が考えることを、もっと専門的に研究なさっている人も必ずいると思います。

QoooL · Answer

コンタクトという映画があります。

ジョディ・フォスターという女優が主演。
私は、この話が大好きで、ビデオ買った後に原作の本も買いました。

カール・セーガン　という有名な科学者・ＳＦ作家です。

この話は、地球外生命体との交信の話です。
その電磁波に、２進数と素数の話が出てきます。

「相手が何進法を使う種族（当然知的生命体）であっても、素数だけは共通言語だから」

というＳＦ的な解説です。０１の信号をはるか何光年彼方に送って、向こうからも０１の信号が返ってきて、素数を鍵にして暗号を解読して、「これは映像だ！」「これは設計図だ！」ということに気付く、という物語です。
一見馬鹿馬鹿しく聞こえるかも知れませんけど、今月たまたま深夜テレビで放送していて、十数年ぶりに観たら、やっぱりおもしろかったですね。

素数を鍵にする、というところが突飛に聞こえるかも知れませんが、
「全ての整数の集合」
というものを定義できるなら、
「きっと全ての整数は、他の素数の積で表されるか、それ自身が素数である」
ということが言えるでしょう。私には公理に見えますね、だって既知の素数で割り切れないなら新規の素数だ、と言ってしまえば良いのですから。

だから、私は別に数学科でも物理学科でもありませんけど、素数は、素粒子などと同じように、「万物を形作る基本単位」と言えるのではないか、と推測します。
「素」というネーミングも、うまいものですね。

ネットで使われるＳＳＬ暗号化技術や、クレジットカードの会員番号やセキュリティコードも、素数を鍵にしているようですよ。
これらがデジタルであることからも、２進法で研究している学者の数も少なくないでしょうね。プログラム上はいちいち１０進法に変換する必要がないですから。

研究事情のことは詳しくなくてすみません。

素数の研究を2進法の表記で行う利点はありますか

＃１、２です。

＃１です。

コンタクトという映画があります。

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