複素関数の連続性

ｆ(z)＝(ｚのバー)の連続性を証明するとき、

ｚ＝ｘ＋ｉｙとおいて、(ｚのバー)の実部、虚部がそれぞれ、実平面上で連続であるから、ｆ(z)＝(ｚのバー)は連続であるとしてもよいのですか？

εーδ法というのがあるようなのですが、授業では扱っていないため、上のような方法で解きたいのですが、どのように書いていけばいいのかわかりません。

No.4 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/06/15 00:07

>実部、虚部がそれぞれ、実平面上で連続である

>⇒その関数は複素平面上で連続とはいえないのですか？
疑問点を数学的に定式化すると見通しがよくなるかも。

写像 f(z) : C -> C について、実部、虚部がそれぞれ連続とは、

実数への射影 Re : C -> R ( a + bi -> a )、
虚数への射影 Im : C -> R ( a + bi -> b ) 各々について、
写像の合成

Re(f(z)) : C -> R、
Im(f(z)) : C -> R

を考えているのですね。これが「複素平面 C 上で連続」であれば

f(z) = Re(f(z)) + i * Im(f(z)) なので、f(z) も連続です。(和や積が連続だから)

しかし、p : R -> C ( a -> a + i*0), q : R -> C ( b -> 0 + bi) をもって、

Re(f(p(x)) : R -> R
Re(f(q(y)) : R -> R
Im(f(p(x)) : R -> R
Im(f(q(y)) : R -> R

の連続性を仮定したとして、これから f(z) : C -> C の連続性を示すのは一般には無理そうです。
f が加法的( f(z1+z2) = f(z1)+f(z2) )であれば、z = p(Re(z)) + q(Im(z)) だから f(z) = f(p(Re(z))) + f(q(Im(z)) だから連続ですね。

反例求む＞誰か

No.3 回答者： zk43 回答日時： 2007/06/10 12:55

一般に複素関数f(z)=Ref(z)+i*Imf(z)について、

|f(z)-f(z0)|=|Ref(z)-Ref(z0)+i(Imf(z)-Imf(z0))|
≦|Ref(z)-Ref(z0)|+|Imf(z)-Imf(z0)|
から、z→z0のとき、|Ref(z)-Ref(z0)|→0かつ|Imf(z)-Imf(z0)|→0
ならば、|f(z)-f(z0)|→0
f(z)=zの共役、として考えてみれば良いと思います。

No.2 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/06/10 11:39

|f(z) - f(w)| = |\bar{z} - \bar{w}| = |\bar{z - w}| = |z - w|

より明らか(\bar{} は上付きバーのことね)

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2007/06/10 11:14

> ｚ＝ｘ＋ｉｙとおいて、(ｚのバー)の実部、虚部がそれぞれ、実平面上で連続であるから、ｆ(z)＝(ｚのバー)は連続であるとしてもよいのですか？

だめです．fの定義域が複素平面全体なのだから
複素平面全体で連続であることを示さなければいけません．

・・・ところで，大学生ですか？高校生ですか？
複素関数の連続性なんてやってるんなら大学生だと思いますが
大学生で「授業で扱ってない」から「できない」なんていうのは
駄目駄目ですよ．

この回答への補足

授業で扱った形式で解いてみようという意図なので…

実部、虚部がそれぞれ、実平面上で連続である⇒その関数は複素平面上で連続とはいえないのですか？

補足日時：2007/06/14 23:22