x^n+1/x^nをt=x+1/xを用いて表したい

t=x + 1/x
とします。

t^2=x^2 + 1/x^2 +2
より、x^2 + 1/x^2=t^2 - 2
です。

t^3=x^3 + 1/x^3 +3(x + 1/x)
より、x^3 + 1/x^3=t^3 - 3t
です。

t^4=x^4 + 1/x^4 +4(x^2 + 1/x^2) + 6
より、x^4 + 1/x^4=t^4 - 4t^2 + 2
です。

一般に、x^n + 1/x^n をtを用いて表すと、具体的にどういった係数になるのでしょうか？

No.4 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/06/19 13:34

ミス訂正。

---------
[例]
　　C4(x) ＝ 8 x^4 － 8 x^2 ＋ 1
　　2*C4(t/2) = t^4 － 4 t^2 ＋ 2

No.3 ベストアンサー 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/06/19 12:02

#1 です。

>双曲線関数 cosh(X) の N 倍角公式になりそうです。
>　　x^n + 1/x^n = 2*cosh[n*Ln(x)]
>　　t = x + 1/x = 2*cosh[Ln(x)]

まず、チェビシェフ多項式をご覧ください。似たかたちですね。
------------------
　http://ufcpp.net/study/digital_filter/chebyshev. …
>チェビシェフ多項式
Cn(x) ＝ cosh[n acosh(x)]
漸化式で表されるn次の多項式。
　　C<n＋1>(x) ＝ 2*x*C<n>(x) － C<n－1>(x)

これにスケール変更すれば、お求めの式になるようです。
　　2*Cn(t/2)

[例]
　　C4(x) ＝ 8 x^4 － 8 x^2 ＋ 1
　　2*C4(t/2) = x^4 － 4 x^2 ＋ 2

No.2 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2007/06/18 09:31

　テイラー展開でt^kの係数が求められることを利用して次のように求めてみました。

ただ、t=0のときｘは実数にはならないので、複素数のテイラー展開になります。

　f_n(x)＝x^n +1/x^n　をt=0(x=i, i:虚数単位)周りのテイラー展開が、
　　f_n(x)＝x^n +1/x^n ＝[k=0→n]ΣA_n_k t^n
になるとすると、一般の係数 A_n_k に関しては、次のようになるようです。

　　A_n_k＝Re{ f_n~k(i)/(2^k・k!) }
　　f_n~k(i)＝n!/(n-k)!・i^(n-k)+(n+k-1)!/(n-1)!・i^{-(n-k)}
　　　　　　＝{n!/(n-k)!+(n+k-1)!/(n-1)!}cos{(n-k)π/2}+i{n!/(n-k)!-(n+k-1)!/(n-1)!}sin{(n-k)π/2}
　　ただし、Re{ }： 複素数の実部
　　　　　　f_n~k(i)：関数f_n(x)のk階導関数でx=iのときの値

　

No.1 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/06/18 07:21

双曲線関数 cosh(X) の N 倍角公式になりそうです。

　　x^n + 1/x^n = 2*cosh[n*Ln(x)]
　　t = x + 1/x = 2*cosh[Ln(x)]