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いまひとつ解らない問題がありまして、何かしらヒントをいただけると光栄です。

その問題が
f(x,y)=xy/(x*x + y*y),(x,y)≠(0,0),f(0,0)=0
は、(x,y)=(0,0)で連続でないことを示せ。また、f(x,y)の(x,y)=(0,0)
におけるxおよびyに関する偏微分を計算せよ。

と、言う問題が少しでもわかるかた。おしえてくださいm--m
追伸
特に困ってるのが偏微分のところが特に・・・
デス(泣)

A 回答 (2件)

>特に困ってるのが偏微分のところが特に・・・


偏微分は微分する変数以外は定数と見なして微分するだけです。
∂f/∂x=y/(y^2+x^2)-(2*x^2*y)/(y^2+x^2)^2
=y*(y^2-x^2)/(y^2+x^2)^2

∂f/∂y=x/(y^2+x^2)-(2*x*y^2)/(y^2+x^2)^2
=-x*(y^2-x^2)/(y^2+x^2)^2

y=0のもとでは∂f/∂x=0,f(x,0)=0=f(0,0)
x=0のもとでは∂f/∂y=0,f(0,y)=0=f(0,0)
ところが
x=yのもとでは∂f/∂x=∂f/∂y=0,f(x,y)=1/2≠f(0,0)
x=-yのもとでは∂f/∂x=∂f/∂y=0,f(x,y)=-1/2≠f(0,0)
つまり、f(x,y)の(0,0)近傍での方向微係数が一致せず異なる分けです。
つまり(x,y)=(0,0)で不連続であると言えます。

#極座標は使いませんでしたが#1さんの回答のように極座標を使う方法での不連続性を示すのも正解ですね。
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この回答へのお礼

御丁寧な回答をありがとうございました。解くことが出来ました。

お礼日時:2008/01/24 20:03

x=r Cos(θ)


y=r Sin(θ)
と極座標で表してみると,
xy = r^2 Sin(θ)Cos(θ),
x^2 + y^2 = r^2 (Sin(θ)^2 + Cos(θ)^2) = r^2
ですから,
f(x,y) = Sin(θ)Cos(θ) (x,y)≠(0,0) … (1)
となりますね.
(x,y)=(0,0)でfが連続であるためには,(x,y)→(0,0)にどの方向θから近づけてもf(0,0)=0に収束しなくてはなりません.極座標の言葉では,任意のθにおいて,r→0の極限で収束する必要がありますが,(1)式を見ると,rに依存していないため,r→0でも
lim_{r→0}f(x,y) = Sin(θ)Cos(θ)
となります.θとしてSin(θ)Cos(θ)≠0(例えばθ=π/4)とえらべば,f(0,0)=0に収束していないことがわかります.つまり,(0,0)では連続でありません.

偏微分はより簡単で,定義どおり計算すればよいです.

実際
∂f(x,y)/∂x |_{(x,y)=(0,0)}
≒ lim_{h→0} (f(h,0)-f(0,0))/h
= lim_{h→0} (h0/(h^2+0^2)- 0)/h
= lim_{h→0} 0
= 0,
yも同様にして0です.
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この回答へのお礼

有難うございます
解りました。
解りやすい解説有難うございます!

お礼日時:2007/07/24 23:14

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