No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>特に困ってるのが偏微分のところが特に・・・
偏微分は微分する変数以外は定数と見なして微分するだけです。
∂f/∂x=y/(y^2+x^2)-(2*x^2*y)/(y^2+x^2)^2
=y*(y^2-x^2)/(y^2+x^2)^2
∂f/∂y=x/(y^2+x^2)-(2*x*y^2)/(y^2+x^2)^2
=-x*(y^2-x^2)/(y^2+x^2)^2
y=0のもとでは∂f/∂x=0,f(x,0)=0=f(0,0)
x=0のもとでは∂f/∂y=0,f(0,y)=0=f(0,0)
ところが
x=yのもとでは∂f/∂x=∂f/∂y=0,f(x,y)=1/2≠f(0,0)
x=-yのもとでは∂f/∂x=∂f/∂y=0,f(x,y)=-1/2≠f(0,0)
つまり、f(x,y)の(0,0)近傍での方向微係数が一致せず異なる分けです。
つまり(x,y)=(0,0)で不連続であると言えます。
#極座標は使いませんでしたが#1さんの回答のように極座標を使う方法での不連続性を示すのも正解ですね。
No.1
- 回答日時:
x=r Cos(θ)
y=r Sin(θ)
と極座標で表してみると,
xy = r^2 Sin(θ)Cos(θ),
x^2 + y^2 = r^2 (Sin(θ)^2 + Cos(θ)^2) = r^2
ですから,
f(x,y) = Sin(θ)Cos(θ) (x,y)≠(0,0) … (1)
となりますね.
(x,y)=(0,0)でfが連続であるためには,(x,y)→(0,0)にどの方向θから近づけてもf(0,0)=0に収束しなくてはなりません.極座標の言葉では,任意のθにおいて,r→0の極限で収束する必要がありますが,(1)式を見ると,rに依存していないため,r→0でも
lim_{r→0}f(x,y) = Sin(θ)Cos(θ)
となります.θとしてSin(θ)Cos(θ)≠0(例えばθ=π/4)とえらべば,f(0,0)=0に収束していないことがわかります.つまり,(0,0)では連続でありません.
偏微分はより簡単で,定義どおり計算すればよいです.
実際
∂f(x,y)/∂x |_{(x,y)=(0,0)}
≒ lim_{h→0} (f(h,0)-f(0,0))/h
= lim_{h→0} (h0/(h^2+0^2)- 0)/h
= lim_{h→0} 0
= 0,
yも同様にして0です.
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 計算機科学 プログラミングで。ε = 0.0001 として、関数、x^2y-y^2-xyの x = 2.2、y= 1 2023/02/05 01:09
- 数学 数学の偏微分の問題です。 1変数の微分でも怪しいのですが、 f(x,y)=√(x-y^2/(2x^3 2 2022/12/09 11:01
- 数学 微分積分の問題でお聞きしたいことがあります。 次の関数zの2階の偏導関数を求める問題ですが、 log 2 2023/06/18 22:49
- 数学 多様体の質問です。 S^1={(a_1,a_2)|a_1^2+a_2^2=1}と T^1=R/Z(R 1 2023/05/18 21:14
- 統計学 標本分散の求め方 1 2022/11/18 19:29
- 数学 α,β,γはα+β+γ=πを満たす正の実数とする。 A=2sinαsinβsinγ B=(β+γ-α 1 2022/06/24 20:20
- 数学 【数学ⅲ】三角関数と合成関数の微分について 4 2022/07/07 21:44
- 数学 『Cの微分.2』 3 2023/02/15 19:47
- 数学 旧帝大の数学は抽象的、例えば微分積分でもf(x)がやたら出てきますが、工業大学の数学は具体的な計算、 5 2022/10/05 16:04
- 数学 【大至急】数学のレポートの問題なんですが分からないので是非教えていただきたいです!本当にお願いします 5 2022/07/25 06:52
おすすめ情報
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報