離散フーリエ変換での回転子計算について

離散フーリエ変換での回転子計算で必要な
以下の証明方法が分からず苦慮しております･･･。
Σ[n=0～N-1]ｅ^(j･2π/N･n)＝０（※）

（※）複素平面上で半径１の円を示すベクトル
(回転子)の∑が、０に収束する。

できれば有識者の方にご助言いただきたく、
宜しくお願いいたします。

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/04/15 08:42

>ただ、未熟な自分はできるだけ帰納的に

>積み重ねて理解したいなと･･･。

帰納は個々の例示から解を直感的に推定するやり方で
積み重ねとは真逆です。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/04/12 10:00

じゃ、もうちょっと詳しく。

a_n = e^{(j・2π/N)・n}
とすると
a_n+1 = a_n ・ e^(j・2π/N) (n = 0 ～ N-2)
a_0 = a_N-1 ・ e^(j・2π/N)

だから
S = Σ[n=0～N-1]e^{(j・2π/N)・n}
とすると
S・e^(j・2π/N) = [Σ[n=0～N-1]e^{(j・2π/N)・n}]・e^(j・2π/N)
= Σ[n=0～N-1][e^{(j・2π/N)・n}・e^(j・2π/N)]
=a_1 + a_2 + ・・・ +a_N-2 + a_N-1 + a_0
= S

→ S{e^(j・2π/N)-1} = 0
e^(j・2π/N)-1 ≠ 0 (N>1)なので、S=0

a_0 ～ a_N-1 の回転対称性を考えれば自明ですけど・・・・

この回答へのお礼

ご回答いただきありがとうございます。

＞→ S{e^(j・2π/N)-1} = 0
なるほど演繹的な手法だと理解しました。
ただ、未熟な自分はできるだけ帰納的に
積み重ねて理解したいなと･･･。

ありがとうございました。

お礼日時：2024/04/13 08:26

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/04/11 15:42

個々の複素数にj・2π/Nかけても

回転の周期性から
式(複素数の和)は変化しない。
j・2π/Nかけて変化しない複素数はゼロのみ。

この回答へのお礼

ご回答いただきありがとうございます。

＞個々の複素数にj・2π/Nかけても
＞回転の周期性から
＞式(複素数の和)は変化しない。
＞j・2π/Nかけて変化しない複素数はゼロのみ。

その論理で納得したいところなのですが、
自分にはできませんでした･･･(泣)
ありがとうございました。

お礼日時：2024/04/12 05:57

No.3 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2024/04/11 09:58

> 実態が分からない離散フーリエ変換の最後の最後で

> また厄介事か･･･と泣いていましたが、
　その先にバタフライ演算という厄介なものが待っている（笑）。
　回転子のことも含めFFTの解説では

https://cognicull.com/ja/f5q2jl62

がわかりやすいと思う。

この回答へのお礼

ご回答いただきありがとうございます。

＞その先にバタフライ演算という厄介なものが待っている（笑）。
＞回転子のことも含めFFTの解説では
＞https://cognicull.com/ja/f5q2jl62
＞がわかりやすいと思う。

FFTの解説サイトをご教示いただき
ありがとうございます。参考にいたします。

バタフライ演算の存在は知っていましたが、
厄介なんですね･･･(泣)

お礼日時：2024/04/12 05:45

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/10 23:15

有識者じゃない、ただの余暇数学おじさんだけど...

簡単な話だから答えてみる。
まず第一に、(※)は収束するしないの話ではなく、
単に有限和が 0 になるだけのことだ。

高校の数学II で等比級数の和を習った人ならピンとくると思うのだが、
S = Σ[n=0～N-1] ｅ^(j・(2π/N)･n) を
r = ｅ^(j・(2π/N)) と置いて
S = Σ[n=0～N-1] r^n と書くと、
(1 - r)S = (1 - r)Σ[n=0～N-1] r^j = 1 - r^N = 1 - ｅ^(2πj) = 0
と計算できる。
j は √-1 のことだよね？ 物理の人はそういう書き方をする。
数学では、 √-1 のことは i と書くことが多いのだけれど。

定義より N ≠ 1 のとき r ≠ 1 だから、
両辺を (1 - r) で割って、 S = 0.

この回答へのお礼

ご回答いただきありがとうございます。

＞高校の数学II で等比級数の和

なるほど！腑に落ちました。
フーリエ級数から経緯を追って順に理解しないと
実態が分からない離散フーリエ変換の最後の最後で
また厄介事か･･･と泣いていましたが、
非常に助かりました。

ありがとうございました。

お礼日時：2024/04/11 06:35

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/04/10 23:03

z=ｅ^(j･2π/N) のとき z^N=1.

この回答へのお礼

ご回答いただきありがとうございます。

＞z=ｅ^(j･2π/N) のとき z^N=1.

最初は何を意味するのか分かりませんでしたが
「等比数列を使う」ということで納得しました。

ありがとうございました。

お礼日時：2024/04/11 06:38