
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
lim(n→∞)an
をε-N論法で書くと
『任意のε>0に対し、ある自然数n0が存在し、n≧n0を満たす任意の自然数は |an - α|<ε を満たす 』…(1)
です。これを利用して
lim(n→∞)√an=√α
を示すには、やはり
『任意のε>0に対し、ある自然数n0が存在し、n≧n0を満たす任意の自然数は |√an - √α|<ε を満たす 』
ことを(1)の事実を使って言う必要があります。
ε-N論法はある意味、永遠に続く対話です。
εは収束の精度みたいなもので、質問者が「ε=0.1」の場合はどうだ?と聞くと「それに対してはn0(0.1)が存在して、…」という。質問者が「では、ε=0.01」ではどうだ?」と聞くと、それに対し「ある番号n0(0.01)が存在して…」、といった具合に(どんな小さな)εを与えられても、それに対応してあるn0の存在を示し、それ以上の番号では言われた精度以内に収束することを保障するのがε-N論法ですね。
なので、ポイントは、任意のεを与えられたときに、それに応じて自動的に適切なn0(n0はεに依存するので、n0(ε)のように依存性を明示することもあります)を答えれるようにすることです。例えば簡単な問題では、
「ε>0に大して、n0=1/εに一番近い自然数を言うとよい」とか。
この問題は、(1)を満たすようなn0は既に存在しているので、これを利用します。そのために、
√an - √α = (an - α) / (√an + √α)
のような変形をすることで、(1)の不等式にある(an - α)を無理矢理出したわけです。
実際証明してみます。
[1] α≠0のとき、
任意のε>0を固定する。… (2)
すると、
|√an - √α|
= |(an - α) / (√an + √α)|
= |(an - α)| / |(√an + √α)|
≦|(an - α)| / √α (∵ |(√an + √α)|= (√an + √α) ≧ √α …(3)
と変形できることに注意します。(1)は任意のεを用いてよかったので、(2)で固定したεを用いて、(1)のεとしてε √αを用いてもよいわけで、それに対しn0(ε √α)が存在して、n≧n0(ε √α)に対しては
|(an - α)| < ε √α
を満たすとしてよいです。
よって、(3)も、このn0(ε √α)を用いると、n≧n0(ε √α)に対しては
|√an - √α| ≦|(an - α)| / √α < ε
となります。
まとめると、始めに(どんなに小さくてもよい)任意のε>0を固定すると、((1)を利用してつくった) n0(ε √α)が存在して、n≧n0(ε √α)に対しては
|√an - √α| < ε
すなわち、lim(n→∞)√an=√αがε-N論法で証明できたことになります。
α=0のときは、練習としてもう一度挑戦してみてください。
わかりました!!
α=0の場合も同じようにεを一回固定してやってみたらできました!
ありがとうございます。月曜日が試験でもう先生に聞きに行くこともできないし、友達と相談することもできないし困っていたんです。本当に助かりました。ありがとうございます♪
No.3
- 回答日時:
余計なお世話かもしれませんが、
ε-N論法の仕組みをわかっていても、ここの問題での使い方がわかるわけではないので、ご安心を。
問題を多く解くとだんだんと使い方の傾向が見えてきます。
その通りなんです。大学の微積の講義でε-N論法をやったのですが、定義の説明だけで練習問題やそれを用いた証明の例など一切やってないんで、ε―N論法をどう使えばいいか分からないんです・・・。
大学の図書館でも参考書を探したんですけど、an与えられていてαも与えられていてそうなることをε―N論法を用いて証明しなさいというのはわかったのですが、この問題がどう使えばいいのかが全然わからないんです…。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 三角関数の極限を「はさみうちの原理」で考える時の不等号について 1 2022/07/22 01:13
- 数学 微分積分についての問題がわからないです。 2 2022/08/08 15:16
- 数学 上三角行列のn乗の証明 2 2023/07/23 21:45
- 哲学 日本語のあたらしい文法を考えよう。 6 2022/06/25 17:41
- 哲学 日本語の文法を考える 3 2022/06/23 10:05
- 数学 『◯と●の帰納法』 2 2023/04/19 20:57
- 数学 解析学 質問です。 lim a_n=α(n→∞)のとき有界な数列{b_n}について lim (a_n 2 2022/11/25 07:47
- 数学 質問が消えたのでもう一度質問します。 A= a+1 2 -1. a-2 P= 1 2 -1. -1 3 2023/06/15 20:28
- 数学 有限な値を取るための条件って一般化できるのでしょうか 6 2022/08/25 15:45
- 事件・犯罪 刑法についてです 2 2022/06/04 03:11
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
limの問題
-
ニュートン法で解が収束しない
-
数学の問題です
-
数列の極限について
-
∞/0って不定形ですか?∞ですか...
-
無限級数Σ(n=1~∞)(n/n^2+1)の...
-
ラプラス変換後のsの意味って何...
-
数3の極限です。 0/1の極限は∞...
-
”有界閉区間”という言葉
-
無限大の0乗は、1で正しいですか?
-
極限値lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))...
-
シグマの問題なのですが。
-
原点における連続性を調べる問...
-
n乗の関数の極限関数
-
二項定理について
-
複素冪級数
-
定数aのn乗根の極限(n→∞)...
-
εーδ論法は10年くらい前から...
-
続 最小包含円
-
収束列の部分列について
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
数列の極限について
-
limの問題
-
∞/0って不定形ですか?∞ですか...
-
極限の問題
-
数学の問題です
-
シグマの問題なのですが。
-
数3の極限です。 0/1の極限は∞...
-
単調増加
-
極限値lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))...
-
続、2変数関数の極限
-
無限大の0乗は、1で正しいですか?
-
ニュートン法で解が収束しない
-
定数aのn乗根の極限(n→∞)...
-
ラプラス変換後のsの意味って何...
-
収束
-
1/n^2と1/n^3の無限和の問題を...
-
はさみうちの原理を使って lim[...
-
無限級数Σ(n=1~∞)(n/n^2+1)の...
-
高校数学の初歩的な質問ですが(...
-
”有界閉区間”という言葉
おすすめ情報