真空度の計算

今、直径が2.3cm、長さが100cmの円筒形の管があるとします。初めに片方を塞ぎ、もう片方からロータリーポンプで内部を真空引きしています。この時の中の圧は1Pa程度だとします。
この状態が安定した後、塞いでいた方からArガスを50sccm(ml/min)で流し始めます。(ロータリーポンプで内部は真空引きしたままです）ある程度時間が経った後の中の圧力を知るためにはどのような計算をすればよいのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#57316 回答日時： 2007/11/04 23:31

管の体積をV(m^3)とします。

ポンプの排気量を、大気圧換算で、f(m^3/sec)、
アルゴンガスの注入率を、やはり大気圧換算で、a(m^3/sec)　とします。
そして、圧力をp(atm)とすると、物質のバランスより、次の微分方程式が得られます。

d(Vp)=a・dt-(f・dt)・p（1）
左辺は、t～dt　の間における管内のアルゴンガス量の変化(大気圧換算)(m^3)
右辺第一項は、t～dt　の間に注入されるアルゴンガス量(m^3)
右辺第二項は、t～dt　の間に管から排出されるアルゴンガス量（大気圧換算）(m^3)

（1）式より、
(dp/dt)+(f/V)・p=(a/V)
これを解くと、
p=p_0・exp(-f・t/V)+(a/f)・{1-exp(-f・t/V)}（2）
となります。
ここで、p_0　は、アルゴンガスを注入する直前の管内の圧力（気圧）です。

右辺第一項は、時間と共に減少していき、0に収斂します。
右辺第二項は、a/f、つまり、単位時間におけるアルゴンガスの注入対排気の比率（無次元）と、
f/V、つまり、管内におけるアルゴンガスが排気される割合(1/sec)によって定まる時間変化を
表わし、式から分かるように（t→∞で、a/f　に収斂します）、最終的にa/f　に落ち着く
ことを示しています。

提示されている質問では、ポンプの排気量が与えられておりませんので、計算できませんが、
（2）式に値を代入すれば、管内の圧力変化が計算できます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
計算できました。

お礼日時：2007/11/06 11:54

No.3 回答者： foobar 回答日時： 2007/11/05 09:13

定常状態の圧力を計算するだけなら、

＃２さん回答の２つ目の式、
(dp/dt)+(f/V)・p=(a/V)
で、(dp/dt)=0(時間変化しないので）として、
pを計算する、という手も使えます。

(定常状態になるまでの挙動（圧力変化の幅や定常状態に落ち着くまでの時間）を評価するには、微分方程式を解いて時間変化を追う方がいいのですが）

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2007/11/06 11:55

No.1 回答者： ElectricGamo 回答日時： 2007/11/03 19:56

初期圧力 P_0 [Pa]、容量 V [m^3] の真空容器（容器内のガス放出 Q [Pa m^3/s]）の圧力は、ポンプの排気速度 S[m^3/s]を用いて

　P(t)=(P_0-Q/S)exp(-St/V) + Q/S

から求められます（詳しくは真空に関する本を調べてください）。

この式において、十分時間が経過した後の圧力は P(∞)=Q/Sですので、ポンプの排気速度と流れ込んでくるガスが分かれば圧力が決まります。

Arガスの流入がない最初の状態では、ガスの発生源はロータリーポンプの油の蒸発でしょうから、そのガス放出 Q_r は、

　P(∞) = Qr / S = 1 Pa → Qr = S [Pa m^3/s]

となります。Arガスを流入させた場合は、これに加えてArガスによるガス放出分が加わります。ここで、Arガスの圧力を P_{Ar} [Pa] とすると、ガス放出は、Q_{Ar} = P_{Ar}×50 [Pa・ml/min] = P_{Ar}×50×10^{-6}/60 [Pa・m^3/s] となります。

最終的な圧力は、QrとQ_{Ar}の寄与分を加えて

　P(∞) = (Qr + Q_{Ar}) / S

から求まります。これに、SとP_{Ar}の具体的な値を入れれば答えが出ます。注意すべきこととして、ポンプの排気速度は気体により異なりますので、排気速度はArのものを使ってください。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
いろいろと勉強になりました。

お礼日時：2007/11/06 11:53