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以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくてこまってます。)

固有値λ1=λ2=-1より、求めるベクトルをx=t[x1,x2]とすると
A=
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
よって
2x1-x2 = 0
4x1-2x2 = 0
この二つは同一方程式より、x1 = 2x2
任意の定数αをもちいてx1 = αとすれば、
x = αt[1,2]

しかし、答えには、
x1 = αt[1,2]
x2 = βt[1,2] + αt[0,-1]

とありました。なぜなでしょう?
参考にしたページなんかを載せてくれるとありがたいです。

ちなみにこんな問題もありました。
A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|

これは固有値がすべて1になる場合です。
これも解法がのってませんでした。

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A 回答 (2件)

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから


わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n次の正方行列を相手にしてる場合は
n=dim(Im(A-λI))+dim(Ker(A-λI))
=rank(A-λI) + dim(Ker(A-λI))
だから
固有空間の次元
= dim(Ker(A-λI))
= n - rank(A-λI)

したがって,
A=
|1 -1|
|4 -3|
のとき,λ=-1とすれば
A-λI= <<<--- 質問者はここを書き間違えている
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
だから,rank(A-λI)=1
よって,固有空間は1次元
だから,本質的に(1,2)以外に固有ベクトルはないのです.
(0,-1)が固有ベクトルではないことは容易に確認できます.

A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|
の場合も同様.A-λIのランクを計算すれば2だから
固有空間の次元は1で,計算すれば(1,0,1)を固有ベクトルと
すればよいことが分かります.
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>求めるベクトルをx=t[x1,x2]とすると


t は転置の意味かな。ここで x1, x2 は実数(あるいは複素数)なんですよね。ちがうのかな?

>しかし、答えには、
>x1 = α t[1,2]
>x2 = β t[1,2] + α t[0,-1]

ここにきて x1, x2 は突然ベクトルになっています。

あなたの読んでいる参考書の内容がまったくわかりません。記号の意味を補足して下さい。
だいたい、固有値が重根になったら、単位行列でもない限り固有ベクトルも一つです。
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Q3×3行列の固有値重解時の対角化の方法

行列A=
| 1 2 2 |
| 0 2 1 |
|-1 2 2 |
とします。
固有値、固有ベクトルを求め、
正則行列Pを用いて対角化する時の手順ですが、
何度やっても最終的に対角化できません。
おそらく固有ベクトル・正則行列の求め方に問題があるのだと思うのですが、
問題点を指摘して頂けないでしょうか?
解答が手元に無く、皆さんに助けを求めさせて頂きました。

【固有値】
|A-λE|=0として
(λ-1)(λ-2)^2=0
固有値λ=1, 2(重解)

【固有ベクトル】
(A-λE)X=0より

(i)λ=1の時
|0 2 2||X1|
|0 1 1||X2|=0
|-1 2 1||X3|

∴{X2+X3=0
 {-X1+2X2+X3=0
X3=kとおくと
X2=-k,X1=-k

∴固有ベクトル
  |-1|
p1=k|-1|
  | 1|

(ii)λ=2(重解)の時
|-1 2 2||X1|
| 0 0 1||X2|=0
|-1 2 0||X3|

∴{-X1+X2+X3=0
 {X3=0
 {-X1+2X2=0

X3=X1-X2
X1=s,X2=tとおくと
X3=s-t

∴固有ベクトル
  | 1 | |0|
p2=s| 0 |+t|1|
 |0.5| |1|より

直行行列
  |-1 1 0|
P= |-1 0 1|
  | 1 0.5 1|
とする。
また、
直交行列の逆行列
   |-1 -2 2|
P-1= 1/5| 4 -2 2|
   |-1 3 2|

これらを用いて計算すると
    |1 -6 -4|
P-1AP= |0 14 36|
    |0 1 26|

となり、途方にくれてしまいます。
|1 0 0|
|0 2 0|
|0 0 2|になってくれません。
どこで間違いをおしているのでしょうか?
教えて下さい。

行列A=
| 1 2 2 |
| 0 2 1 |
|-1 2 2 |
とします。
固有値、固有ベクトルを求め、
正則行列Pを用いて対角化する時の手順ですが、
何度やっても最終的に対角化できません。
おそらく固有ベクトル・正則行列の求め方に問題があるのだと思うのですが、
問題点を指摘して頂けないでしょうか?
解答が手元に無く、皆さんに助けを求めさせて頂きました。

【固有値】
|A-λE|=0として
(λ-1)(λ-2)^2=0
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【固有ベクトル】
(A-λE)X=0より

(i)λ=1の時
|0 2 2||X1|
|0 1 1||X2|=...続きを読む

Aベストアンサー

固有値2に対する一次独立な
固有ベクトルはひとつしか
作れませんよね?

こういう場合は対角化できないのです。

Q固有値が複素数のときの固有ベクトルの求め方

固有値が複素数のときの固有ベクトルの求め方

( -7 -5 )
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Aベストアンサー

固有値は1±iになるかと…

そこから先の計算は普通に実数の時と同じ方法で計算できます.

Q固有ベクトルが複数の場合

| 0 -1 1 |
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解答には固有ベクトルは
(1) (0) (1)
(0) (1) (0)
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1に対する固有ベクトルは確かにその2つもあると思うんですが
(-1)
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Aベストアンサー

1に対する固有値の重複度2ですから固有値の一般形は
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なので、自由度2(任意に選べる変数がa,bの2つ)ですから
が固有ベクトルは2つのみ一次独立です。ですから
固有ベクトルが出来るだけ簡単になるa,bを2通り与えて固有値1に対する
固有ベクトルは2つだけ求めてやれば良いです。
たとえば固有値1に対する固有ベクトルは(a,b)の値を適当に与えてやると固有ベクトルは以下のようにいくつでも出来ますが、どれか簡単そうな2つだけ示せばいいですね。
(a,b)=(1,0)→(1,0,1)
(a,b)=(0,1)→(0,1,1)
(a,b)=(1,-1)→(1,-1,0)
(a,b)=(-1,1)→(-1,1,0)
(a,b)=(2,-1)→(2,-1,1)
(a,b)=(1,1)→(1,1,2)

Q行列における固有値、固有ベクトルについて

少しばかり固有値、固有値ベクトルについて、分からないことがあったため質問します。
 
 添付画像に式を示します。

 この式を解くとλ=1という固有値が出ます。しかし、λ=1を行列式に代入すると全てが0になり固有値ベクトルを求めることができません。
 回答のページには、途中計算が省かれているため、過程がわかりません。こういった場合には、どう個体値ベクトルを求めれば良いのか、教えてもらえませんか?

Aベストアンサー

ANo.1です.少し補足を.

この問題を行列の対角化ととらえるとそれはすでに解決しています.単位行列は対角行列ですから.

また,固有ベクトルが何かという問題もすでに解決しています.任意の正則行列Pについて

P^{-1}EP=P^{-1}P=E

ですから,固有ベクトルは任意の一次独立ベクトルの最大セットで,任意の正則行列のすべての列ベクトルセットをとればよいです.

x=(s,t)^Tとしたベクトルは任意の2次元ベクトルですが,これのs,tを2組とって一次独立ベクトルを2つ探してもよいです.
例えば(s,t)=(1,1),(1,-1)として

x_1=(1,1)
x_2=(1,-1)

としてもよいです.無数にあります.しかし,求めろと言われればやはりもっとも簡単なのは基本ベクトルの(1,0)^T,(0,1)^Tの2つだということです.

どれをとるかは質問者様の自由です.

ただ,基本ベクトルの考えは物理学(古典力学や量子力学など)のような応用分野では重要です.

Q大学院別のTOEICの合格点を教えてください。

大学院入試でTOEICの点数を英語の点数として換算している大学院が多くあると知ったのですが大学院別にどのぐらいが合格点なのでしょうか?
東大の院生の平均点が730というデータはネットでみたのですが他のいろいろな大学院について教授からや友達からの情報でもいいので参考にさせてください。

Aベストアンサー

このサイトに、大学院入試でTOEIC(R)Testを活用する52の大学院が、
国公立、私立別で掲載されており、
ある一定のスコアで、英語の独自試験免除など、詳しい情報が見れます!

参考URL:http://www.toeicclub.net/graduateschool.html

Q3×3行列の固有値が重解をとる時の対角化可否の判別

3×3行列A
1 2 2 
0 2 1
-1 2 2
を計算すると、固有値が1,2(重解)となりました。
変換行列Paは
-1 2 0
-1 1 0
1 0 1
としました。


また、3×3行列B
3 0 -1
0 2 0
-1 0 3
を計算すると固有値が2(重解),4となりました。
変換行列Pbは
1 0 -1
0 1 0
1 0 1
としました。


計算していくと1番目の行列Aが対角化不可で、ジョルダン標準形になりました。
2番目の行列Bは対角化されました。(エクセルを使って確認もしたので多分合っていると思います)
実際にP-1APを計算する前に、対角化の可否をどう判別すればいいでしょうか?
定義も含めて、具体的に判別の過程を書いて頂けたら助かります。
助けてください・・・。

Aベストアンサー

うっかり書き間違えたので訂正する。

「Aの固有値2に対する固有空間の次元は3-rank(A)=3-2=1」

「Aの固有値2に対する固有空間の次元は3-rank(A-2E)=3-2=1」

及び

「Bの固有値2に対する固有空間の次元は3-rank(B)=3-1=2」

「Bの固有値2に対する固有空間の次元は3-rank(B-2E)=3-1=2」

の2ヶ所。

改めて全て書くと以下の様になる。


正方行列が対角化可能であるかどうかは
その正方行列の全ての固有値それぞれについて
固有値に対する固有空間の次元が
固有値の重複度に等しいかどうかを見ればよい。
全て等しければ対角化可能であり
等しくないものが一つでもあれば対角化不可である。

Aの固有値2に対する固有空間の次元は3-rank(A-2E)=3-2=1
でありAの固有値2の重複度に等しくないからAは対角化不可。

Bの固有値2に対する固有空間の次元は3-rank(B-2E)=3-1=2
でありBの固有値2の重複度に等しいからBは対角化可能。

ちなみにBは実対称行列になっているから
実対称行列は直交行列によって対角化されるという定理を考えれば
このようなことをしないでも対角化可能であることは瞬時に分る。

うっかり書き間違えたので訂正する。

「Aの固有値2に対する固有空間の次元は3-rank(A)=3-2=1」

「Aの固有値2に対する固有空間の次元は3-rank(A-2E)=3-2=1」

及び

「Bの固有値2に対する固有空間の次元は3-rank(B)=3-1=2」

「Bの固有値2に対する固有空間の次元は3-rank(B-2E)=3-1=2」

の2ヶ所。

改めて全て書くと以下の様になる。


正方行列が対角化可能であるかどうかは
その正方行列の全ての固有値それぞれについて
固有値に対する固有空間の次元が
固有値の重複度に等しいかどうかを見ればよい。
全て...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q単位法線ベクトルの問題なんですが。。。

曲面 4x^2y+z^3 = 4 上の点P(1, -1, 2)における単位法線ベクトルnを求めよ.

という問題です.

他の質問を見てf = (x,y,z) = 4x^2y+z^3-4
とするのはわかったのですがgradfがわからないです。。。

Aベストアンサー

未消化のgrad fを使わなくても以下のように出来ます。
いずれにしてもただ丸写しするのではなく教科書や講義ノートや参考書など
を復習して基礎的なことを勉強して、理解するだけの自助努力が大切です。

f(x,y,z)=4(x^2)y+z^3-4=0

全微分して
 8xydx+4(x^2)dy+3(z^2)dz=0

点P(1,-1,2)の座標を代入
 -8dx+4dy+12dz=0
 4(-2,1,3)・(dx,dy,dz)=0
法線ベクトル:±(-2,1,3)
 |(-2,1,3)|=√(4+1+9)=√14
単位法線ベクトルn=±(-2,1,3)/√14

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

QKer(核)やIm(像)の意味がわからない。

Aはm×n行列、xはn次ベクトル、bはm次ベクトル
このとき
KerA={x∈Rn|Ax=0}
ImA={Ax∈Rm|x∈Rn}と定義する。
※Rn,Rmのn,mはRの右肩にあります。

この定義のいみがよくわかりません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ベクトルxは、
  b=Ax
という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
x=0の場合は、b=0です。
しかし、Aの中身によっては、x≠0なのに、b=0
になる場合があるでしょう?
b=0になるような、xをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Imのほうですが、bを好き勝手に決めたとして、
 b=Ax
となるような、xがいつでもきめられるでしょうか?
どんなbに対しても、連立一次方程式が問題なく解ける場合
(解が一通りしかない場合)もありますが、解がない場合だって
ありますよね? これも、Aの中身によります。
そこで、xをいろいろ変えてみて、でてくるbを
すべて集めてできた集合を、Im(A)とかきます。

なれないうちは、
Ker(A)は、連立方程式Ax=0の解xの集合、
Im(A)は、Ax=bが解ける場合のbの集合
とでも理解しておけばいかがですか?
本当は、方程式ではなくて、ベクトル空間の概念ですけども。

ベクトルxは、
  b=Ax
という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
x=0の場合は、b=0です。
しかし、Aの中身によっては、x≠0なのに、b=0
になる場合があるでしょう?
b=0になるような、xをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Imのほうですが、bを好き勝手に決めたとして、
 b=Ax
となるような、xがいつでもきめられるでしょうか?
どんなbに対しても、連...続きを読む


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