３×３行列の固有値重解時の対角化の方法

行列A＝
｜ １　２　２ |
｜ ０　２　１ |
｜-１　２　２ |
とします。
固有値、固有ベクトルを求め、
正則行列Pを用いて対角化する時の手順ですが、
何度やっても最終的に対角化できません。
おそらく固有ベクトル・正則行列の求め方に問題があるのだと思うのですが、
問題点を指摘して頂けないでしょうか？
解答が手元に無く、皆さんに助けを求めさせて頂きました。

【固有値】
|A-λE|＝0として
(λ-1)（λ-2)^2=0
固有値λ=1, 2（重解）

【固有ベクトル】
(A-λE)X=0より

(i)λ=1の時
|0 2 2||X1|
|0 1 1||X2|=0
|-1 2 1||X3|

∴{X2+X3=0
　{-X1+2X2+X3=0
X3=kとおくと
X2=-k,X1=-k

∴固有ベクトル
　 |-1|
p1=k|-1|
　 | 1|

(ii)λ=2（重解）の時
|-1 2 2||X1|
| 0 0 1||X2|=0
|-1 2 0||X3|

∴{-X1+X2+X3=0
　{X3=0
　{-X1+2X2=0

X3=X1-X2
X1=s,X2=tとおくと
X3=s-t

∴固有ベクトル
　 | 1 | |0|
p2=s| 0 |+t|1|
　|0.5| |1|より

直行行列
　 |-1 1 0|
P= |-1 0 1|
　 | 1 0.5 1|
とする。
また、
直交行列の逆行列
　　 |-1 -2 2|
P-1= 1/5| 4 -2 2|
　　 |-1 3 2|

これらを用いて計算すると
　　　 |1 -6 -4|
P-1AP= |0 14 36|
　　　 |0 1 26|

となり、途方にくれてしまいます。
|1 0 0|
|0 2 0|
|0 0 2|になってくれません。
どこで間違いをおしているのでしょうか？
教えて下さい。

No.3 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/11/21 08:30

固有値２に対する一次独立な

固有ベクトルはひとつしか
作れませんよね?

こういう場合は対角化できないのです。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
おかげさまで間違いに気付くことができました。
この問題はジョルダン標準形と変換行列を求める問題でした。ですが、ジョルダン標準系∋対角行列であるので、対角行列が必ずできるものだと勘違いしていました。

お礼日時：2013/11/22 00:07

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/11/20 23:57

「sとtの取り方によってはX3=0になる」というのはその通りだけど, なんで x3=0 となるように s, t を選ばないの?

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/11/20 17:51

とりあえず, 自分で書いたはずの

X3=0
を完全に忘却しているところ.

この回答への補足

sとtの取り方によってはX3=0になると思いましたので、
上記のように書いています。

補足日時：2013/11/20 17:56