壁面せん断応力の導出で

毛細管流量計を使って流体粘度を測定する実験をしました。

ニュートン流体が直径Ｄの円管内を管内平均流速ｖで流れる時、
層流における壁面せん断応力τwとせん断速度８v/Ｄの関係は
　τw＝μ(８v/Ｄ)・・・(１)
μはその温度における流体の粘度だそうです。

また、流出した体積をＶ0、流出時間をｔとすると、
Ｖ0＝(πＤ^2/４)ｖｔであるから、管内平均流速ｖは
ｖ＝４Ｖ0/πＤ^2ｔで求められる。すると
　τw＝(ρｇＤ/４Ｌ)｛Ｈi－(θv^2)/(２g)｝・・・(２)
ρ：流体密度、ｇ：重力加速度、L：毛細管長さ
Ｈi：水槽水位、θ：補正係数(＝2.8)

このように、τwを表す２つの式がさも当然のように書かれています。
が、教科書を見ても載っていない式であり、
θのような聞いた事も無いような値まで入っていて、
どのように導出すれば出てくるのか判りません。
２つの式の導出方法を教えて下さい。

No.2 ベストアンサー 回答者： 0shiete 回答日時： 2002/10/11 20:49

後半の質問に回答します。

ベルヌーイの定理を使います。
水槽の水面と毛細管出口でベルヌーイの式をたてて、、
ρgHi=Δp+θ*ρv^2/2　(1)

ところで、
Δp=4τL/D　(2)
ですから、
(1)(2)よりΔpを消去し、整理すれば
ご質問の式が出てきます。

この回答へのお礼

わざわざ有り難うございました。
助かります。

お礼日時：2002/10/11 22:03

No.1 回答者： 0shiete 回答日時： 2002/10/10 18:20

前半の質問に答えます。

円筒の半径をr,長さをLとし、円筒の両端にかかる圧力をp,p-Δpとすれば、
円筒の断面にかかる力は
pπrw^2-(p-Δp) (1)
また円筒の側面にかかるせん断応力は
τ*2πrwL (2)

(1)(2)が等しいので等値して整理すると
τ=Δpr/2L　(3)

r=D/2より

Δp=4τL/D (4)


また、
τ=-μdU/dr (5)

(3)(5)より
-μdU/dr=Δpr/2L (6)

これを解いて
U=-Δpr^2/4μL+C(積分定数) (7)

管壁で速度がゼロであることから、r=rwでU=0を代入して
積分定数を求め、整理すると

U=Δp(rw^2-r^2)/4μL (8)

(8)をr=0からr=rwまで積分して体積流量Qを求めると
Q=Δpπrw^4/8μL (9)

管内の平均流速Vを求めると
V=Q/πrw^2=Δprw^2/8μL (10)
rw=D/2より
V=Q/πrw^2=ΔpD^2/32μL (11)

(4)(11)よりΔpを消去して

τ=8μV/D