どうしても納得でき無ないのでお聞かせください。
問) 円C:(x-2)^2+(y-4)^2=9と直線l:(k+2)x-(2k-1)y+9k-12=0(kは定数)がある。
1)lがkの値に関係なく通る定点Pを求めよ。
2)lがCによって切り取られる線分の長さLの最小値を求めよ。
解答)
1)l:(k+2)x-(2k-1)y+9k-12=0をkについて整理すると、
2x+y-12+k(x-2y+9)
これを解くとx=3,y=6
よってP(3,6)
2)円の中心はQ(2,4)
l上の定点PがCの内部にあるから、lとQの距離をdとおくと、
d≦PQ(一定)が成り立つ。
PQ垂直lとなるkが存在すれば、dの最大値はPQであり、Lの最小値は2√(3^2-PQ^2)-----(2)
PQ垂直lのとき、2*[(k+2)/(2k-1)]=-1より k=-3/4
よって、PQ垂直lとなるkが存在し、このとき
d^2=PQ^2=5であるから(2)の値はL=4
疑問)
とあるのですが、
勝手にd≦PQとし、PQ垂直lのときd=PQでdの最大としてしまう理由が分かりません。
垂直でd=PQの理屈は分かるのですが、勝手にd≦PQとし「PQの時にdが最大だ~」としてしまってよいのでしょうか?
例えば、任意にRを円の内側のl上に設定すれば、PQより大となるd≦RQが存在する気がしてなりません。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
回答申し上げます。
確かに感覚的には勝手にd≦PQとしたくなっちゃう方もいれば、
それに違和感を覚える方もいらっしゃるのかと思います。
点Qから直線lに垂線を引いて交わった点をP’とします。
このときQP’=d になりますよね。(点と直線の距離の定義)
さて、PP’=d’としてみると
三角形QPP’は直角三角形ですから、
(QP’)^2+(PP’)^2=(QP)^2 となります。
つまり
d^2+d’^2=(QP)^2 (=一定)
dもd’も距離ですからd≧0、d’≧0
よって、
d^2≦d^2+d’^2=(QP)^2 ですから
d^2≦(QP)^2
⇔
d≦QP
となります。
では、d=QPとなるときは、d’=0 のときですから、
つまりPP’=0 のときです。
点Pは固定されていますから、PP’=0 というのは、
点P’=点Pのときとわかります。
これはQP⊥直線l のときになりますよね。
以上が理由になります。
これを図形で考えると上記を省略しても良いと考える人がいらっしゃるということでしょう。
しかし、図がないとここまで書かないとちょっと説明不足な感がありますよね。
参考になれば幸いです。
No.6
- 回答日時:
垂直のときが最短なのは、Qを中心としてlに接する円を考えればわかります。
接点とQとの距離がすなわち最短距離となります。それより短いとlに届きませんから。
そして、円の直径と接線は直行しますから、dが最短のときPQとlは直行します。接点以外で直交しないのは明らかですから(Q、接点、接点以外の点の3点で作る三角形を考えると、接点のところが直角ですから、接点以外の点のところは必ず鋭角になります)、直交するときが最短と言えます。
No.5
- 回答日時:
余り親切な回答ではないね。
。。。。。笑点(2、4)と直線:(k+2)x-(2k-1)y+9k-12=0(kは定数)との距離が最大なら、lがCによって切り取られる線分の長さLは最小となる。
点(2、4)と直線:(k+2)x-(2k-1)y+9k-12=0(kは定数)との距離aは、点と直線との距離の公式により、a=|3k-4|/√(5k^2+5)。
両辺>0より平方すると、(9-5a^2)k^2-24k+(16-5a^2)=0.
9-5a^2=0の時は、k=-9/24.
9-5a^2≠0の時は、2次方程式から判別式≧0、つまり、0≦a≦√5.
以上から、aの最大値は√5(この時、k=-3/4)
このとき、ピタゴラスの定理より、求める線分の長さの最小値は2*2=4.
わあ・・・
こちらの回答だと、理屈が理解できました!
PQの距離の式を求めて、その最大を求めるのですね。
すごくわかりやすいです。
ワタシの参考書の回答がなぜこんな方法で解いているのか分からないです・・・
ありがとうございます。
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