(3)で回転数が整数値のときPQ上に戻るとかいてあるのですが、なぜそのようになるのでしょうか？

(3)で回転数が整数値のときPQ上に戻るとかいてあるのですが、なぜそのようになるのでしょうか？

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/12/13 05:47

電子の発射点を原点とし、PからQへ向かう方向をz軸、R面を上に

y軸、紙面奥に向かう方向をx軸とする。
電子の速度を
　v=<vx,vy,vz> (初速は<0,v₀sinθ,v₀cosθ>)
とする。磁界は
　<0,0,B>
となる。

運動方程式は
　mvx'=-eBvy , mvy'=eBvx , mvz'=0
ここで、w=eB/m とおくと
　vx'=-wvy・・・・①
　vy'=wvx・・・・②
　vz'=0・・・・・③
となる。①を微分して②を入れると(逆も)
　vx''=-w²vx , vy''=-w²vy
この解はよく知られており
　vx=Acoswt+Csinwt
　vy=Dcoswt+Fsinwt

初期条件
　0=vx(0)=A
　v₀sinθ=vy(0)=D
から
　vx=Csinwt
　vy=v₀sinθcoswt+Fsinwt
となる。これを①に入れると
　wCcoswt=-w(v₀sinθcoswt+Fsinwt)
sin/cosは一次独立なので
　C=v₀sinθ , F=0

したがって
　vx=v₀sinθsinwt
　vy=v₀sinθcoswt
積分して(積分定数は再使用)
　x=-(v₀sinθ/w)coswt+A
　y=(v₀sinθ/w)sinwt+C
初期条件から
　0=x(0)=-(v₀sinθ/w)+A
　0=y(0)=C

まとめると
　x=(v₀sinθ/w)(1-coswt)
　y=(v₀sinθ/w)sinwt
となる。これは
　(x-v₀sinθ/w)²+y²=(v₀sinθ/w)²
となり、電子の軌跡は x-y面の射影で見ると x=v₀sinθ/w, y=0
を中心とする円となる。

つまり、この円が１回転する、t=2π/w 後に電子はx-y座標の原
点(PQ上)に戻ってくる。

n回転する無時刻は t=2πn/w だから
　x==(v₀sinθ/w)(1-cos2πn)=0
　y=(v₀sinθ/w)sin2πn=0
となる、という意味。