共分散について

解決済

質問者：aresukersk
質問日時：2008/07/01 11:37
回答数：2件

分散が 1 の確率変数 X，Y の共分散を Cov[X, Y] とするとき、

Cov[aX + Y, X - aY] = 0

となる条件を求めよ。

という問題があるのですが・・・・これは Cov[X, Y] に関して X，Y が独立の場合は

Cov[X, Y] = E[X, Y] - E[X]E[Y] = 0 ---- (*)

となることを用いて、与式の (aX + Y) と (X - aY) が独立であるということを示せばよいのでしょうか？

また、結局 a の値が 0 のときは (*) と等しくなるので、 a = 0 というのも条件となるのでしょうか？

そのほか、別の解法もあるかもしれませんが・・・・回答よろしくお願いしますm(__)m

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回答 (2件)

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No.2ベストアンサー

回答者： jamf0421
回答日時：2008/07/01 15:09

題意はXとYの分散が１の条件のもとに与えられた共分散の式がゼロになる条件を示せということですね。

題意の通り正攻法でやるべきと思います。
分散が１とは平均値をXの平均をμ、Yの平均をνとしたときに
E[(X-μ)^2]=1, E[(Y-ν)^2]=1......(1)
ということですね。即ち、
E[X^2]-μ^2=1, E[Y^2]-ν^2=1......(2)
ですね。
XとYの共分散とはE[(X-μ)(Y-ν)]ですから、問題とする式は
E[(aX+Y-aμ-ν)(X-aY-μ+aν)]=0......(3)
となる条件ですね。あとはこれをバラバラにして、(2)を使えばでるはずです。簡単な式になりますよ。