A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
ちょっと詳しい教科書なら、載っていると思いますが・・・基本的には、その通りです。
X~N(μ1,σ1^2), Y~N(μ2,σ2^2)の時、
X+Y~N(μ1+μ2,σ1^2+σ2^2)
です。
グラフにすると、ですか。とても直感的な説明を言います。
正規分布は山形ですね。山の中心も、なだらかさも違う二つの正規分布を足すと、山が二つある分布ができる気が、直感的にはしますね。
ところが、
X+Y~N(μ1+μ2,σ1^2+σ2^2)
この式は、直感的な予想に反して、どんな山形の正規分布を二つ足しても、足した結果の分布は、山が一つにしかならないことを意味しています。
これは、正規分布だけの性質で、一般には成り立ちません。
証明の方法は、いくつかあると思いますが、畳み込み(積分)を使って、素朴に証明したり、特性関数から、ラプラス変換やフーリエ変換の知識を使って証明したりするんだと思います。
いずれにしても、これを証明しようとすると大変な割に、その知識が、それほど使えるわけでもないので、普通の大学の講義では、証明しないことも多いと思います。
あ、あと、
Y~N(μ2,σ2^2)のとき、-Y~N(μ2,σ2^2)ですから、
X-Y=X+(-Y)~N(μ1-μ2,σ1^2+σ2^2)
です。
No.1
- 回答日時:
厳密でない説明をします。
2本の棒を組み合わせることを考えます。
長さの平均がモトの2つの棒の長さの和又は差になることは容易に想像できます。
分散は和になります。
Aの大小とBの大小の4つの組み合わせだけ考えます。
和のとき:大+大=2、大+小=0、小+大=0、小+小=2
差のとき:大-大=0、大-小=2、小-大=2、小-小=0
で同じになります。分散は2^2+2^2=8
Aだけ考えると4ケース
大=1、大=1、小=1、小=1で分散は4です。Bも同じです。
4+4=8なんですね。
グラフは結果の平均と分散を持つ正規分布となります。
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