13日の金曜日のまわってくる周期

「13日の金曜日」って何年（何ヶ月かな？）に一度あるんですかね？
計算すれば出ると思うんですけど、苦手で・・・教えてください！

No.7 ベストアンサー 回答者： h191224 回答日時： 2008/07/20 22:25

現在のグレゴリウス暦は、400年で、曜日も含めて繰り返します。

ですから、400年だけを考えれば良いわけです。
400年の起点ですが、
(1)　年は、1600年や2000年など、400で割り切れる年から開始します。
(2)　月は、うるう年の問題を処理しやすいので、３月１日から翌年の２月末までを１年として扱うのが普通です。以下、３月１日を開始日と呼びます。

ここで、毎月13日が何曜日になるかを2000年について見てみると、
　３月-月曜、４月-木曜、５月-土曜、６月-火曜、７月-木曜、８月-日曜
　９月-水曜、10月-金曜、11月-月曜、12月-水曜、１月-土曜、２月-火曜
この年の開始日は水曜ですから、年の最初が水曜から始まる場合、13日が金曜になる月の数は１です。
もし、開始日が木曜なら、上の曜日で、土曜となっている月が金曜になるので、13日が金曜になる月の数は２です。
このようにして、開始日の曜日に対する13日の金曜の月数をまとめると、次のようになります。これが13日の金曜日の月数を数える基本データとなります。
開始日の曜日　　13日の金曜日の月数
日曜　　　　　　２
月曜　　　　　　１
火曜　　　　　　２
水曜　　　　　　１
木曜　　　　　　２
金曜　　　　　　２
土曜　　　　　　２
（すべての曜日を合計すると、当たり前ではありますが、12か月になります。）

次は、開始日の曜日の変化ですが、グレゴリウス暦は400で割り切れない100の倍数年はうるう年にならないという不規則性があるので、まず、2000年から順に2099年までを追うことにします。その結果は、以下のようになります。
まず、2000年から2027年までの28年間は、
水曜、木曜、金曜、土曜、　月曜、火曜、水曜、木曜、　土曜、日曜、月曜、火曜、
木曜、金曜、土曜、日曜、　火曜、水曜、木曜、金曜、　日曜、月曜、火曜、水曜、
金曜、土曜、日曜、月曜、
ここで重要なことは、開始日の曜日に偏りがなく、すべて４回ずつあるということです。
だから、この28年間での13日の金曜日は、上の基本データのすべての曜日の合計の12か月の４倍で、48か月あります。
2028年から2055年、2056年から2083年までは、これが繰り返されます。
要は、2000年から2083年までの13日の金曜日は、48回×３＝144か月あります。
2084年から、2099年までの16年間は、次のようになります。
水曜、木曜、金曜、土曜、　月曜、火曜、水曜、木曜、　土曜、日曜、月曜、火曜、
木曜、金曜、土曜、日曜、
ここでは、木曜・土曜が3回あるほかは、他2回ずつです。
だから、上の基本データから、13日の金曜日は、28か月（＝12×２＋２＋２）あることが計算できます。
結局、2000年３月１日～2100年２月28日までの、13日の金曜日は、
144＋28＝172か月
あります。

以下、2100～2399年については、（対象が金曜日であるための偶然から）これがさらに３回繰り返されるので、400年間での13日の金曜日は、
　172×４＝688か月
あることになります。
よって、確率は、688を400年間の全月数で割って、
　688／(400×12)＝0.14333・・・
となって、１／７＝0.142857・・・よりは、やや大きくなるのですが、大局的には、
「７か月に１回」
ということになります。

ちなみに、13日が日曜から土曜までとなる日をそれぞれ数えると、
日曜…687、月曜…685、火曜…685、水曜…687、木曜…684、金曜…688、土曜…684
となり、13日が金曜日になる日が最も多くなります。しかし、最も少ない木曜と土曜でも、684ですから、その差はわずか！
以下、2100年から2399年までをまじめに追った結果です。

2100年以後は次のようになります。
まず、2100年から2183年までは、
月曜、火曜、水曜、木曜、　土曜、日曜、月曜、火曜、　木曜、金曜、土曜、日曜、
火曜、水曜、木曜、金曜、　日曜、月曜、火曜、水曜、　金曜、土曜、日曜、月曜、
水曜、木曜、金曜、土曜、　→　13日の金曜日は、144か月
2184年から、2199年までの16年間は、
月曜、火曜、水曜、木曜、　土曜、日曜、月曜、火曜、　木曜、金曜、土曜、日曜、
火曜、水曜、木曜、金曜、
火曜・木曜が3回あるほかは、他2回ずつ　→　13日の金曜日は、28か月
この100年間では、172か月

2200年から2283年まで　→　13日の金曜日は、144か月
2284年から、2299年までの16年間は、
土曜、日曜、月曜、火曜、　木曜、金曜、土曜、日曜、　火曜、水曜、木曜、金曜、
日曜、月曜、火曜、水曜、
日曜・火曜が3回あるほかは、他2回ずつ　→　13日の金曜日は、28か月
この100年間では、172か月

2300年から2383年まで　→　13日の金曜日は、144か月
2384年から、2399年までの16年間は、
木曜、金曜、土曜、日曜、　火曜、水曜、木曜、金曜、　日曜、月曜、火曜、水曜、
金曜、土曜、日曜、月曜
日曜・金曜が3回あるほかは、他2回ずつ　→　13日の金曜日は、28か月
この100年間では、172か月

No.8 回答者： px1949 回答日時： 2008/07/21 01:06

少し違った視点で回答したいと思います。

13日の金曜日がやってくる平均的な間隔は、ほぼ７ヶ月に１回ですが、13日の金曜日を迎え、次にまた13日の金曜日がやってくる間隔は、次の７種類しかありません。

１ヶ月後
３ヶ月後
６ヶ月後
８ヶ月後
９ヶ月後
11ヶ月後
14ヶ月後

１ヶ月後というのは、もちろん、うるう年でない年に２月13日金曜日があれば、３月13日も当然金曜日、というケースです。

最長の14ヶ月後の場合であっても、このケースが起きるのは、
７月の後、翌年の９月、
または
８月の後、翌年の10月、
ですから、１月１日からその年の大晦日までに、13日の金曜日が全然ない年はありません。

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/07/20 21:42

すばらしいことに, われわれが使っているグレゴリオ暦では 400年で曜日が繰り返します. 400年に (97回閏年が入るので) 400*365+97 = 146097日ありますが, この 146097 はなんと 7 で割り切れます.

ということは 400*12 = 4800ヶ月で曜日が繰り返すので, 「各月の 1日の曜日」の分布には偏りがあります. あとは地道に計算するだけなんですが, 実は「1日は日曜日が最多」であることが知られています. つまり, 「13日は金曜日が最も可能性が高い」ということになります.

No.5 回答者： sanori 回答日時： 2008/07/20 19:24

こんにちは。

長い目で見れば簡単なことでして、
各月には１３日の数は必ず１つ。
そして、日曜～土曜の７通りのうち金曜の確率なのですから、
確率は１／７です。

そして、重要なことは、２月１３日が金曜日であれば、翌月の３月１３日も金曜日であるということです。（ただし、うるう年を除く）

つまり、長期間の平均で７ヶ月当たり１日なのですが、
２ヶ月連続だと、心理的に「あれ、また今月もだね。」ということになりますし、人によっては「ということは、１３日の金曜日って頻繁なのかな。」と誤解するかもしれませんね。

No.4 回答者： pascal3141 回答日時： 2008/07/20 16:12

私も気になって調べてみたことがあります。

前の方の説明でいいですが、簡単に月のはじめの1日が日曜日なら必ずその月に13日の金曜日があります。よって、カレンダーで月初めが日曜日になる月を探せばいいでしょう。

No.3 回答者： staratras 回答日時： 2008/07/20 15:02

なかなか興味深い問題ですね。

次のように考えると「１３日の金曜日」は１年に最少で１回、最多で３回あることが分かります。

まず１月１３日を起点にして、２月、３月、４月…１１月、１２月のそれぞれ１３日まで何日あるか求めて、その日数を７で割った余りを求める。この余りがｎ（０≦ｎ≦６）ならば１月１３日から曜日がｎだけ進むことを示します。例えば１月１３日が月曜日で、ｎ＝３ならその月の１３日は木曜日です。

そうしますとうるう年でない平年の場合は、２月１３日から１２月１３日まで
３－３－６－１－４－６－２－５－０－３－５　という数値が得られます。
うるう年の場合は、３月（１３日）以降が一つずつずれるので
３－４－０－２－５－０－３－６－１－４－６　となります。

どちらの場合も１から６までの整数がすべて少なくとも１回は出現します。したがって１月１３日が何曜日であっても、その年の１３日の中には少なくとも１回は「１３日の金曜日」があることが分かります。
また、平年には３が３回、うるう年には０が２回（ということは１月１３日と同じ曜日が３回）あります。
したがって、平年では１月１３日が火曜日であれば２月、３月、１１月の１３日が金曜日になり、
うるう年では１月１３日が金曜日であれば、４月と７月の１３日も金曜日になります。
まとめると、１３日の金曜日は最少で年１回、最多で年３回あることが分かります。

参考までに２０００年から２０１０年までの「１３日の金曜日」の回数は次の通りです。（う）はうるう年、（平）は平年
２０００年（う）１回、２００１年（平）２回、２００２年（平）２回、２００３年（平）１回、２００４年（う）２回、２００５年（平）１回、２００６年（平）２回、２００７年（平）２回、２００８年（う）１回、２００９年（平）３回、２０１０年（平）１回

No.2 回答者： toorisugari 回答日時： 2008/07/20 14:20

「１３日の金曜日」は毎年あります。

（解説は以下のページ参照）

http://homepage1.nifty.com/tadahiko/ZOKI/ZOKI-05 …

頻度の計算になると７ヶ月に一回になるのかな。

No.1 回答者： neKo_deux 回答日時： 2008/07/20 12:14

30日の月と31日の月の関係で厳密な周期の計算は面倒です。

うるう年を考えるのなら、400年×週7日=2800年では確実に繰り返しますが。

概算なら、
1ヶ月の平均の日数 ＝ 365.25÷12 ＝ 30.44日
その中の13日が金曜日である確率は1/7ですから、
次に13日の金曜日がやって来るのは、30.44×7 ＝ 213日後
年に1回か2回ってところかと。