No.2ベストアンサー
- 回答日時:
当たり前のことをきちんと証明する問題です。
こういう場合は、それぞれの定義をきちんと書き出して、仮定から結論が導けることを定義に従って示します。
まず「外測度の列が一様収束する」「外測度の列がa.e.収束する」の定義を書き下してください。
ありがとうございます。
> 当たり前のことをきちんと証明する問題です。
> こういう場合は、それぞれの定義をきちんと書き出して、仮定から結論が導けることを定義に従って示します。
> まず「外測度の列が一様収束する」「外測度の列がa.e.収束する」の定義を書き下してください。
前者は
0<∀ε∈R,∃L∈N;(L<n,x∈E⇒|λ*(x)-λ*_n(x)|≦ε)
です。
後者はa.e.で各点収束する事です。つまり
0<∀ε∈R,∀x∈a.e,∃L∈N;(L<n⇒|λ*(x)-λ*_n(x)|≦ε)
x∈a.e.は殆ど至る所のx∈Eという意味です。
つまり,Eから零集合らZを取り去った集合,
x∈E\Zの意味です。
一様収束⇒各点収束
ですよね。
しかも今,
E\Z⊂Eとなっているわけですから
Eで一様収束するならEで各点収束する。
Eで各点収束するならa.e.(即ちE\Z)でも各点収束する。
という解釈で大丈夫でしょうか?
No.3
- 回答日時:
ANo.2のお礼について。
収束するのが関数列なら良いですが、外測度の列だと離散測度でもない限り一点の値は0だよ。
もう一度、定義を確認してみよう。
この回答への補足
すいません。訂正です。
問題文は「(R^n⊃)E上のルベーグ測度の列{f_k}がE上で殆ど一様収束するならば{f_k}はE上でa.e.収束する事を示せ」でした。
{f_k}はE上でa.e.収束するの定義は
λをE上のルベーグ測度とし,fとf_kをルベーグ可測関数とする。λ({x∈E;lim[k→∞]f_k(x)≠f(x)})=0の時,
{f_k}はfにE上でa.e.収束するという。
そして
{f_k}はE上で殆ど一様収束するの定義は
λをE上のルベーグ測度とし,fとf_kをルベーグ可測関数とし,
0<∀δに対し,λ(E\F)<δで,{f_k}がfにF上で一様収束するような閉集合F(⊂E)が存在する時,
{f_k}はfにE上で殆ど一様収束するという。
なので
仮定より,E⊃∃FはR^nで閉集合で0<∀δ∈Rに対し,λ(E\F)<δそして{f_k}はfにF上で一様収束。
したがって λ({x∈E;lim[k→∞]f_k(x)≠f(x)})=λ({x∈E\F;lim[k→∞]f_k(x)≠f(x)})<δと書ける。
今,δは任意に採ったのでλ({x∈E\F;lim[k→∞]f_k(x)≠f(x)})=0即ちλ({x∈E;lim[k→∞]f_k(x)≠f(x)})=0
となりました。これでいいでしょうか?
> ANo.2のお礼について。
> 収束するのが関数列なら良いですが、外測度の列だと離散測度でもない限り一点の値は0だよ。
> もう一度、定義を確認してみよう。
ありがとうございます。
正確な問題文は「(R^n⊃)E上のルベーグ測度の列{f_k}がE上で殆ど一様収束するならば{f_k}はE上でa.e.収束する事を示せ」でした。
{f_k}はE上でa.e.収束するの定義はですね。
λをE上のルベーグ測度とし,fとf_kをルベーグ可測関数とする。λ({x∈E;lim[k→∞]f_k(x)≠f(x)})=0の時,
{f_k}はfにE上でa.e.収束するという。
そして
{f_k}はE上で殆ど一様収束するの定義は
λをE上のルベーグ測度とし,fとf_kをルベーグ可測関数とし,{f_k}はfにE上でa.e.収束する。
0<∀δに対し,λ(E\F)<δで,{f_k}がfにE上で一様収束するような閉集合F(⊂E)が存在する時,
{f_k}はfにE上でa.e.一様収束するという。
従って,今{f_k}がE上で殆ど一様収束するので殆ど一様収束の定義から{f_k}はE上でa.e収束する。
と一行で終わってしまいますがこんなんでいいんでしょうか?
No.1
- 回答日時:
キチンと書くと、
可測空間 E 上の関数列 f_n(x) が、n→∞ のとき、x∈E について一様に収束するなら、
f_n(x) が(単純)収束しない x の範囲は、測度 = 0 であることを示せ。
でしょう。
「 a.e⊂E 」って、いったい何ですか?
遅くなりましてすいません。
a.e.はEから零集合を取り除いた集合を意味しました。よって自動的にa.e.はEの部分集合になるので
a.e.⊂Eと書いてしまいました。
、、、で本題ですが
正確な問題文は「(R^n⊃)E上のルベーグ測度の列{f_k}がE上で殆ど一様収束するならば{f_k}はE上でa.e.収束する事を示せ」でした。
{f_k}はE上でa.e.収束するの定義はですね。
λをE上のルベーグ測度とし,fとf_kをルベーグ可測関数とする。λ({x∈E;lim[k→∞]f_k(x)≠f(x)})=0の時,
{f_k}はfにE上でa.e.収束するという。
そして
{f_k}はE上で殆ど一様収束するの定義は
λをE上のルベーグ測度とし,fとf_kをルベーグ可測関数とし,{f_k}はfにE上でa.e.収束する。
0<∀δに対し,λ(E\F)<δで,{f_k}がfにE上で一様収束するような閉集合F(⊂E)が存在する時,
{f_k}はfにE上でa.e.一様収束するという。
従って,今{f_k}がE上で殆ど一様収束するので殆ど一様収束の定義から{f_k}はE上でa.e収束する。
と一行で終わってしまいますがこんなんでいいんでしょうか?
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・10秒目をつむったら…
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・【大喜利】【投稿~9/18】 おとぎ話『桃太郎』の知られざるエピソード
- ・街中で見かけて「グッときた人」の思い出
- ・「一気に最後まで読んだ」本、教えて下さい!
- ・幼稚園時代「何組」でしたか?
- ・激凹みから立ち直る方法
- ・1つだけ過去を変えられるとしたら?
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
シグマの問題なのですが。
-
∞/0って不定形ですか?∞ですか...
-
無限大の0乗は、1で正しいですか?
-
数列の極限について
-
数3の極限です。 0/1の極限は∞...
-
極限の問題
-
数学の問題です
-
コーシー列の積
-
収束か発散かを示したいです。
-
定数aのn乗根の極限(n→∞)...
-
ローラン級数の一意性の証明
-
無限級数の収束発散について調...
-
1/n^2と1/n^3の無限和の問題を...
-
limの問題
-
無限級数と無限数列の違いについて
-
1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+...
-
無限級数の収束
-
級数の極限
-
無限級数Σ(n=1~∞)(n/n^2+1)の...
-
高校数学の初歩的な質問ですが(...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
∞/0って不定形ですか?∞ですか...
-
シグマの問題なのですが。
-
数3の極限です。 0/1の極限は∞...
-
これなぜ最後の不定形が0に収束...
-
これの(3)はどういった発想で解...
-
数列の極限について
-
ラプラス変換後のsの意味って何...
-
数学の問題です
-
無限大の0乗は、1で正しいですか?
-
ニュートン法で解が収束しない
-
極限の問題
-
limの問題
-
1/n^2と1/n^3の無限和の問題を...
-
極限値lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))...
-
級数Σa_n が絶対収束すれば、・...
-
定数aのn乗根の極限(n→∞)...
-
デルタ関数
-
f : ℝ→ℝ が微分可能で一様連続...
-
ノルムでは収束するが、各点で...
-
無限級数Σ(n=1~∞)(n/n^2+1)の...
おすすめ情報