背理法が成り立つ理由

ある命題で、背理法を用いて解くと、その命題が真であると言えるのがなぜなのかがわかりません。（解き方ではなくて、どうして背理法で真だと言えるのかが分からないのです。）背理法が成り立つ理由を教えて下さい。

No.2 ベストアンサー 回答者： doc_sunday 回答日時： 2008/10/13 20:52

言明Ａの否定　￢Ａ　があり、￢Ａ とＡの和が全体であるとします。

そのとき￢Ａが不成立ならＡが成立しなければなりません。
このとき言明Ａが初めから不合理であるという空集合は許されません。

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございました。すごい！！！
簡潔で、大変分かり易い素晴らしい回答をありがとうございました。はい、理解できました。すっきりしました。
感動です。感無量です。尊敬します。
ありがとうございました。感謝します。
ありがとうございました。

お礼日時：2008/10/13 21:26

No.5 回答者： kabotya636 回答日時： 2008/10/14 16:39

あなたの名前が山田太郎だとします。

そして、山田家は父、母、兄、弟との5人家族だとします。
(一般の人々)＞(山田家の人々)＞(山田太郎君）の包含関係を
図に描いてみてください。
山田太郎君は山田家の一人です。・・・・・命題とします
山田家の一人なら山田太郎君です・・・・・逆
山田太郎君でなければ山田家の人でない・・裏
山田家の人でないなら山田太郎君でない・・対偶
ここで、命題と対偶が同値であること図で確認して下さい。
そして、背理法は、対偶を証明する事で命題の真を導くので、絶対的な証明法です。
具体的には、上の命題を証明するためには、「山田家以外には山田太郎は存在しない」を証明すれば、命題が真である事がいえます。
もとろん「おれも山田太郎だ」という人は「ニセ山田太郎」とみなします。
もうひとつ具体例を示すと、「犯人は、この時刻に現場にいた」が
真実ならば、「この時刻に現場にいなかった容疑者は犯人でない」が証明できます。

この回答へのお礼

具体的なご回答をありがとうございました。
とても、身近な感じで、工夫して下さり、ありがとうございました。
数学は、むずかしいですね。
ありがとうございました。

お礼日時：2008/10/14 23:05

No.4 回答者： orcus0930 回答日時： 2008/10/14 08:46

命題Aが真、偽のいずれかを必ず取るとしましょう。

今回は真を1、偽を0をしましょう。
Aが真のときA=1
Aが偽のときA=0
と書くことにしましょう。

また否定をnot(A)と表記し、真偽が逆転されるので
A=1ならnot(A)=0
A=0ならnot(A)=1
です。

論理演算をします。（orを∪、andを∩としましょう）
A∪not(A) = 1　…（＊）
が常に成立します。（これが成り立たないという学者もいますがとりあえずは無視しましょう）

orの性質上
A∪B=1　かつ　B=0　ならば A=1でなければならないので
（＊）でnot(A)=0ならA=1でなければなりません。

なので、否定したものを仮定して論理が矛盾し偽であることを示す背理法が成立することになります。

この回答へのお礼

親切に分かり易い詳しいご回答をありがとうございました。
何故背理法が成立するのかよく分かりました。
お世話になりました。
ありがとうございました。感謝します。

お礼日時：2008/10/14 22:59

No.3 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/10/13 22:59

端的に言えば、「そのように仮定したから」です。

背理法が成り立つというのは、数学に触れる多くの人に共通の信念で、
それ以上のものではありません。（私も、それを信じていますが。）
法則的…というか、形式的には、それは、論理系の公理のひとつとして
仮定されたものです。そのような公理（排中率）を認めない立場の論理学
もあり、それに従う数学もあります。↓

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E8%A6%B3% …

この回答へのお礼

ご回答をありがとうございます。
違った考え方まで、ご紹介いただき、ありがとうございました。
（ちょっと、驚きでした。）
数学って、すごいなぁと思いました。
ありがとうございました。

お礼日時：2008/10/14 22:54

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/10/13 20:49

世の中にはイエスかノーのどちらかしか無いとの信念によるものです。

この回答への補足

すみませんが、よく、分かりません。これは、koko_u_さんの信念でしょうか？法則的なものを教えていただけるとよいのですが・・・？

補足日時：2008/10/13 21:27

この回答へのお礼

回答していただき、ありがとうございました。

お礼日時：2008/10/14 23:06