
No.5
- 回答日時:
あなたの名前が山田太郎だとします。
そして、山田家は父、母、兄、弟との5人家族だとします。
(一般の人々)>(山田家の人々)>(山田太郎君)の包含関係を
図に描いてみてください。
山田太郎君は山田家の一人です。・・・・・命題とします
山田家の一人なら山田太郎君です・・・・・逆
山田太郎君でなければ山田家の人でない・・裏
山田家の人でないなら山田太郎君でない・・対偶
ここで、命題と対偶が同値であること図で確認して下さい。
そして、背理法は、対偶を証明する事で命題の真を導くので、絶対的な証明法です。
具体的には、上の命題を証明するためには、「山田家以外には山田太郎は存在しない」を証明すれば、命題が真である事がいえます。
もとろん「おれも山田太郎だ」という人は「ニセ山田太郎」とみなします。
もうひとつ具体例を示すと、「犯人は、この時刻に現場にいた」が
真実ならば、「この時刻に現場にいなかった容疑者は犯人でない」が証明できます。
具体的なご回答をありがとうございました。
とても、身近な感じで、工夫して下さり、ありがとうございました。
数学は、むずかしいですね。
ありがとうございました。
No.4
- 回答日時:
命題Aが真、偽のいずれかを必ず取るとしましょう。
今回は真を1、偽を0をしましょう。
Aが真のときA=1
Aが偽のときA=0
と書くことにしましょう。
また否定をnot(A)と表記し、真偽が逆転されるので
A=1ならnot(A)=0
A=0ならnot(A)=1
です。
論理演算をします。(orを∪、andを∩としましょう)
A∪not(A) = 1 …(*)
が常に成立します。(これが成り立たないという学者もいますがとりあえずは無視しましょう)
orの性質上
A∪B=1 かつ B=0 ならば A=1でなければならないので
(*)でnot(A)=0ならA=1でなければなりません。
なので、否定したものを仮定して論理が矛盾し偽であることを示す背理法が成立することになります。
親切に分かり易い詳しいご回答をありがとうございました。
何故背理法が成立するのかよく分かりました。
お世話になりました。
ありがとうございました。感謝します。
No.3
- 回答日時:
端的に言えば、「そのように仮定したから」です。
背理法が成り立つというのは、数学に触れる多くの人に共通の信念で、
それ以上のものではありません。(私も、それを信じていますが。)
法則的…というか、形式的には、それは、論理系の公理のひとつとして
仮定されたものです。そのような公理(排中率)を認めない立場の論理学
もあり、それに従う数学もあります。↓
参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E8%A6%B3% …
ご回答をありがとうございます。
違った考え方まで、ご紹介いただき、ありがとうございました。
(ちょっと、驚きでした。)
数学って、すごいなぁと思いました。
ありがとうございました。
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