一次関数の問題

2点A（1,4）,B（3,1）がある。y軸上に点Pをとり、AP+PBの長さを考える。AP+PBの長さが最も短くなるとき、点Pの座標を求めなさい。という問題において、AP+PBの長さが最も短かくなるときの意味がよくわかりません。教えて下さい。

No.5 回答者： jamf0421 回答日時： 2009/02/26 22:46

一応高校生だと考えて、純然腕力型で解いてみます。

（ご参考まで）Pの座標は(0,p)とかけますね。APとBPのそれぞれの長さは以下の如くかけますね。
AP={1^2+(p-4)^2}^(1/2)
BP={3^2+(p-1)^2}^(1/2)
図を書いてみればわかりますが、1<p<4のどこかに来たときにAP+BPが一番小さくなりますね。ですからL=AP+BPの極値を求めればよいのです。即ち
dL/dp=0
のところですね。この計算は高校生なら簡単に出来るとおもいますが、結果だけかけば
-(p-4){9+(p-1)^2}^(1/2)=(p-1){1+(p-4)^2}^(1/2)
両辺が正は明らかですね。これの両辺の二乗して整理すればpについての2次方程式になります。出てくる根のうち一つは1<p<4になりますのでそれが答えです。

No.4 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/02/26 20:26

これは、ヘロンの問題といわれている有名な問題。

書込みが面倒だから、コピーしてきた。ｗ

（Ｑ）直線Ｌの同じ側にある２点Ｆ1，Ｆ2からの距離の和Ｆ1Ｐ＋ＰＦ2が最小になるようなＬ上の点Ｐを求めよ．

この問題は「ヘロンの問題」と呼ばれていて「町Ｆ1から町Ｆ2に行くとき，川岸Ｌの点Ｐに立ち寄るものとする．このとき道のりの長さが最小となるような点Ｐを求めよ．」という実用価値のある寄り道問題ですし，反射光学の問題あるいはビリヤード問題とも考えることができます．

（Ａ）答は簡単に求めることができる．点Ｆ2を直線Ｌに関して対称移動させＦ0とする．直線Ｆ1Ｆ0と直線Ｌの交点が最短距離となる折り返し点Ｐである．


　この最適な点Ｐには線分Ｆ1ＰとＦ2ＰがそれぞれＬとなす角が等しいという性質があります．また，このことは三角形のフェルマー点Ｆが３つの頂点への距離の和を最小にすること，∠ＡＦＢ＝∠ＢＦＣ＝∠ＣＦＡが成り立つこととよく類似しています．


　ヘロンの問題のバリエーションとして「町Ｆ1から川の反対側にある町Ｆ2に行くとき，川岸Ｌの点Ｐに立ち寄り，一定幅ｄの川を渡るものとする．このとき道のりの長さが最小となるような点Ｐを求めよ．」などもよく見かける問題です．どこに橋を架けたらいいかという問題ですが，川幅は一定ですから点Ｆ1を川幅の分だけ平行移動した点をＦ0として，Ｆ0とＦ2を結ぶ直線が川のＦ2側の岸と交わる点に橋を架ければ最短経路であることがわかります．

No.3 回答者： shiki_zero 回答日時： 2009/02/26 19:41

中学生の方かな？という前提で回答しますが、

最も短くなる時とは、２点ABを結んだ直線上に点Pがくる時です。
そうするとAP+PBは一本の直線になるので他の所に点Pを取った時と比べて最も短いですよね？それと同じ長さになるようにy軸上に点をとる、ということでしょう。
その問題が出ている時点で具体的な解き方は学校で習っていると思うのですが、「最短経路」か「鏡像法」という言葉は聞いたことありませんか?

No.2 回答者： info22 回答日時： 2009/02/26 19:01

>AP+PBの長さが最も短かくなるときの意味がよくわかりません。

P(0,p)とおくと
AP+BP=√{1^2+(p-4)^2}+√{3^2+(p-1)^2}
となります。この距離の和が最小になるようなpを求めよ。
と言うことです。

考え方）
Y軸に対してAの対称点A'(-1,4)をとれば
PA=PA'なので
PA+PB=PA'+PB
で、三角形A'BPにおいて２辺と1辺の長さの関係から
PA'+PB=A'PとなるP点、すなわちA'BとY軸との交点にP点が来たとき
PA'+PB
の和が最小になりますので
A'(-1,4)とB(3,1)を通る直線のy切片の点(0,p)を求めればその点が求める
P点の座標になります。

質問がある場合は、補足に自分で作った解答を書いた上で、分からない箇所を質問して下さい。

No.1 回答者： seasoning 回答日時： 2009/02/26 18:40

何年生の問題か分からないので、言葉が通じるか分かりませんが。

。。

>AP+PBの長さが最も短かくなるとき
点PはABの垂直二等分線上にある。
で、点Pはｙ軸上なんだから後は・・・

垂直二等分線て言葉なんて１５年ぶりに使ったな・・・
覚えてるもんだね。