先生から問題が出された台形の面積

小学生の子どもを持つものです。昨日、中学入試の問題だといわれ、子どもから質問されたのですが、どう考えてもわからないのでこちらで質問させていただきます。
図にかけないので、言葉での説明となりますが。

台形の下辺の長さが４ｃｍ、下辺から上辺への角度が両方とも３０度、
下底以外の３辺はすべて長さが等しい台形の面積を求めるというものです。小学校でのレベルで説明がつきますでしょうか？
それとも三平方の定理などを使わないと駄目でしょうか？
どうぞお助けください。

No.5 ベストアンサー 回答者： jamf0421 回答日時： 2009/05/13 17:49

No2です。

図を考えて簡単かと思いましたがあとから御指摘が御座いましたようにこれは小学校レベルではないですね。
60°と30°の角度の三角定規の辺の長さの比が1:2:√3だと知っていたら簡単だとおもいましたが、その後が考え方からして面倒でした。そもそも三角定規から入ると絵が2通り描けるのですね。（どうおいても結果は同じになりますが...）
(i)30°が台形の底角ですから、斜辺(長さを仮に2aとします）を台形の斜辺、(√3)aの辺を台形の底辺の一部なるように両サイドにおきます。題意により、上辺の長さも2aになりますから三角形の間にはいる長方形は幅2a、高さaです。
このaを求める計算も、そのあとの面積の計算も小学生には難しすぎでしょうね。
(√3)a+(√3)a+2a=4
即ち
a(√3+1)=2
から
a=2/(√3+1）=2(√3-1）/(3-1)=√3-1
となります。これを使って以下のようになります。
上底；2(√3-1）
下底；4
高さ；√3-1
台形公式より面積をもとめると(2(√3-1)+4）*(√3-1)/2=(√3+1)*(√3-1)=2(cm^2)となります。（No4さんと同じです。）

(ii)三角定規の斜辺(長さ2aとする。）を台形の底辺になるように置くと、(√3)aの辺が台形の斜辺になります。この時台形の上辺が(√3)aになる必要がありますので、三角形の直角間の距離が(√3)aです。三角形の直角から台形の底辺（三角形の斜辺）に下ろした垂線の足は30°の角から3a/2、60°の角からはa/2の位置です。よって60°の部分をくっつけておいてしまうと上辺はaにしかなりません。(√3)aの長さにするためには60°角を(√3-1)a離して置く必要があります。よってこの時のaを求める式は
4=2a+2a+(√3-1)a=(√3+3)a...(4)
これより
a=4/(√3+3)=2(3-√3)/3...(5)
これより台形の上底の長さは
(√3)a=2(3√3-3)/3=(6√3-6)/3=2(√3-1）...(6)
となり、また高さは
(√3)a/2=√3（3-√3)/3=(3√3-3)/3=√3-1...(7)
となります。この結果は上底、下底、高さとも(i)と同じですから面積は2となります。

(iii)そもそも三角定規のおき方などというものを考えないのでしたら、相等しい三辺の長さをaとし、底辺についてa+2acos30°=4としてaを計算すれば面積は簡単に出ますが、それだとますます小学生の問題ではないでしょうね。

安直に答えてすみませんでした。

この回答へのお礼

わざわざ私の質問に答えていただき、ありがとうございました。とてもわかりやすい説明で助かりました。√が出てきて、これはもう小学生には教えるのは無理ですよね。私自身も√の計算があやふやで、行き詰っておりました。

お礼日時：2009/05/13 19:25

No.6 回答者： oldyork 回答日時： 2010/01/14 12:11

まず、説明を進めやすくするために記号を振ります

台形の左上の頂点から反時計回りにＡＢＣＤとします
次に上辺の左右の頂点Ａ、Ｄから下辺に垂線を引き、それぞれの交点をＥ、Ｆとします

ここまでで図形が左右２つの三角形と真ん中の長方形に分割されます

少し複雑なのでまず道筋を示します
下辺ＢＣの中点Ｍを取ります
Ｍから垂直に上辺方向に半直線を引き、上辺との交点をＧ、半直線上にＢＭ＝ＣＭ＝ＨＭとなる点Ｈを取ります
ＨとＣを結んでできる三角形ＨＭＣの面積が台形ＡＢＣＤの面積と等しくなることを利用して２×２÷２＝２と小学生の範囲内の知識でどうにか求めることができます

何故そうなるのかですが、
三角形ＨＭＣの中に含まれる台形ＧＭＣＤは元の台形の右半分と同じものですから、残りの部分の面積が台形の左半分と一致すれば良いことになります

ＨＤを結んでできる三角形ＨＧＤと三角形ＡＢＥは同じ三角形ですので、後は三角形ＨＤＣと四角形ＡＥＭＧが等しいことが分かればよいことになります

これを示すために対角線ＢＤと補助線ＤＥを引きます
台形の上辺と下辺は平行ですので、三角形ＡＢＤと三角形ＡＥＤの面積は等しくなります（平行線を利用した面積の移動は中学受験の範囲内です）

三角形ＡＥＤは長方形ＡＥＦＤの半分の面積ですから、同じく長方形ＡＥＦＤの半分の面積である四角形ＡＥＭＧとも等しくなります

また、三角形ＡＢＤは件の三角形ＨＤＣと合同な三角形です（題意や補助線の作図時の条件からＡＢ＝ＡＤ＝ＤＣ＝ＤＨ、角ＢＡＤ＝角ＣＤＨ、残りの角度も同じであることが分かります。条件を満たせば合同というのも中学受験では使用してよい知識です）
これで三角形ＨＤＣと四角形ＡＥＭＧの面積が等しいことが分かるわけです

このように考えればどうにか中学受験までの知識で解くことが可能ですが、この問題かなりの難易度ですね……とんでもない高レベルの私立校でないとお目にかからないような……？

この回答へのお礼

わざわざ私の質問にとても丁寧に答えていただき、ありがとうございました。私の知識ではどうにも答えが出せず、時々思い出してはいましたが、お手上げ状態でした。でも中学受験の知識でも解けることに感動しました。先生がどこからこの問題を探してきたのかは、敢えて聞いてはいませんが、おっしゃるとおり、かなりの難易度ですよね。この度は本当にありがとうございました。

お礼日時：2010/01/16 20:27

No.4 回答者： Massy57 回答日時： 2009/05/13 15:08

小生も朝からこの問題にチャレンジしました。

三平方の定理を使わないと（正三角形の高さを求める）この問題は解けないと思います。
で中学入試問題というと多分別の解があるのでしょう。小生にはわかりません。２平方センチというのが答えと思うのですが（高さがルート３ー１、城辺の長さがその倍となると思うのですが）。どうも頭が堅いのでしょうか。

この回答へのお礼

わざわざ私の質問に回答いただき、ありがとうございました。三平方の定理を使わないとわからないとは思ったものの、子どもにどのように説明していいか、わからず困り果てておりました。

お礼日時：2009/05/13 18:26

No.3 回答者： arasara 回答日時： 2009/05/13 13:34

こんにちは。

＃１さん、＃２さんと意見は異なりますが、
小学生の算数で「ルート」は出てこないと思うので、この問題は小学生では解けないと思います。
高校入試の問題、と言っても構わないくらいのレベルのような気がします・・・

この回答へのお礼

私の質問にわざわざご回答いただき、ありがとうございました。やはり小学生レベルではないですよね。私自身、お手上げ状態でした。

お礼日時：2009/05/13 18:19

No.2 回答者： jamf0421 回答日時： 2009/05/13 10:32

No1さんの言われるように図を書いてみれば判り易いです。

二つの同じ形三角形と間に長方形を挟んだ形ということになります。両サイドの二つの三角形が三角定規の直角三角形です。これの斜辺の長さが2、直角を挟んで短い方が1、長いほうが√3であることを知っていればよいのですが...

この回答へのお礼

私の質問にわざわざご回答いただき、ありがとうございました。

お礼日時：2009/05/13 18:17

No.1 回答者： 19590707 回答日時： 2009/05/13 08:38

実際に図形を書いて頂いたら分かると思います。

補助線に注目です。後は、簡単です。三角形の面積と四角形の面積を足せばいいのですから（ちなみに、底辺から30度ですから残りは、90度と60度ですから自ずと出てくると思います。

この回答へのお礼

私の質問にわざわざご回答いただき、ありがとうございました。

お礼日時：2009/05/13 18:16