２を何乗したら２億を超えるか

２を二乗したら、４。
２を三乗したら、８。。。というふうに数が増えていきますが、逆に、何回掛けたらこの数になる、という計算方法はありますか。

例→タイトルの通り「２を何乗したら２億を超えるか」

電卓を使用するという回答以外にお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/05/29 23:22

2^10=1024≒1000=10^3

ですから
2億=2*10^8=200*(10^3)^2≒200*(1024)^2=200*2^20
概算ですがほぼ
128＝2^7＜200＜256＝2^8
と考えられます。つまり
2億は2^27と2^28の間位の数と見積もれます。
実際の筆算計算して確認すると
2^27=(2^7)*(2^10)*(2^10)=128*1024*1024=134217728（2億より小さい）
2^28=(2^27)*2=134217728*2=268435456（2億より大きい）
となります。
したがって2億を越える2^nのnの最小値は
2^28=2^nなので　n=28
ということが分かります。

対数が分からなくてもこういった方法で解決できます。

No.4 回答者： orcus0930 回答日時： 2009/05/29 23:27

通常の方法は#1の方のやり方でいいと思います。

ここでは2^nに限定して話を進めていきたいと思います。

まずは2^10=1024を覚えます。これを約1000と考えて見積もります。
ついでに、1～9乗も覚えちゃいましょう。知っておくと便利だと思います。

２００，０００，０００
＜２００×１０２４×１０２４
＜２５６×１０２４×１０２４
＝2^8*2^10*2^10=2~28
で２８乗で２億を超えることは比較的簡単にわかります。

また、2^(10n)は2^300で初めて最高位が２になるので、そこまでの範囲ならこの手法は応用できます。

No.2 回答者： banakona 回答日時： 2009/05/29 23:17

＞何回掛けたらこの数になる、という計算方法はありますか。

これはまさに「対数」というヤツです。

まずは禁じ手の電卓から。Windowsの電卓で行なうと、「２」「Ｅｘｐ」「８」「log」「／」「２」「log」「＝」とすると２７．５７・・・
となり、これは２７回では２億に満たないという意味なので、２８回が答え。「log」の代わりに「ｌｎ」を使ってもOKです。

２番目。対数表を使う。

３番目。２億を２で何度も割るよりも少しマシ？な方法。
　　A列:１　２　　４　　　８　　　　１６　　　　３２
　　B列:２　４　１６　２５６　６５５３６　4294967296

という２つの列を書きます。Aは１から始めて２倍ずつしたもの、B列は２から始めて前の項を２乗していったものです。
　B列で２億を超えているものを探します。すると、A列が３２のとき４２億とちょっとなのでlog(2)２億は３２より小さく１６より大きいことがわかります。この１６を覚えておきます。
　次に２億を６５５３６で割ります。すると３０５１．７・・・となり、これよりも大きい数をB列から探します。すると、A列が１６のとき６５５３６なのでlog(2)３０５１．７・・・は１６より小さく８より大きいことがわかります。この８を覚えておきます。
　次に３０５１.７・・・を２５６で割ります。すると、１１．９２・・・となり、これよりも大きい数をB列から・・・（以下同様）

コレを繰り返すと、「覚えておいた数」は１６，８，２，１となります。これらを加えると２７となり、これがlog(2)２億の整数部となります。実際のlog(2)２億にはコレに小数部がつきますからlog(2)２億＝２７＋α（０＜α＜１）となり、２８のときに2億を超えることが分かります。

ちなみにA列、B列とも上記よりも左側の部分すなわち
　　A列：・・・　　０．１２５　　０．２５　０．５
　　B列：・・・　　２^0.125　　　２^0.25　　２^0.5
を補って同様のことをすると、αの値を求めることも可能です。B列を計算するために√キーが欲しくなりそうですが、これは比較対象の方を2乗することにより回避できます。ケタの多い小数を2乗するのは大変ですが。

4番目：やったことがないので無責任な回答ですが、おそらく計算尺でもできるでしょう。

No.1 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2009/05/29 22:27

　２をｎ乗したときに２億を超えるとします。

　このことを式で表すと、次のようになります。

　　2^n＞200,000,000

　この式の両辺の常用対数をとって整理しますと、次のようになります。

　　n log_10 (2) ＞8 + log_10(2)
　∴ｎ＞(8+log_10(2))/log_10(2)

　log_10(2)≒0.301　ですので、ここから

　　ｎ＞２７．５７・・・

となりますので、　ｎ＝２８　で超えることが分かります。

　このような計算でしたら、電卓は使わなくても　手計算でできるかと思います。

この回答へのお礼

丁寧にありがとうございました。

私の説明不足でしたが、小学生に説明する方法を探しておりました。
これを機会に、高校数学を見直してみます。分かりやすい説明、ありがとうございました。

お礼日時：2009/06/02 16:52