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エクセルであるデータの散布図を作りました。
ばらつきがみられたので、近似曲線をどうしようかと思ったのですが、6次の多項式近似を行ったところ、プロットした点をほぼすべて正確に通る近似曲線がひけました。
その近似式の式は
y==3E-10*x^6 - 8E-08*x^5 + 8E-06*x^4 - 0.0004*x^3 + 0.0091*x^2 - 0.0695x + 0.3314
でした。
R^2も0.999でほとんど1だったので、このデータ(曲線)の式=近似曲線の式とみなしてもいいと思ったのですが、ダメなのでしょうか?

実際のデータではx=97.12561のときy=6.37なのですが、この式に代入するとy=-14になってしまいます。
なぜでしょうか?
E-10というのは10^(-10)ということで正しいですよね?

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A 回答 (7件)

#1さんも言われているように単なる各項の有効桁数の不足による桁落ち誤差ですね。


多項式の各項の係数が1桁では、計算精度も高々1桁ですね。
x=97.12 ... ≒100=10^2ですから
y≒3*10^2-8*10^2+8*10^2-4*10^2+0.91*10^2-0.0695*10^2+0.003314*10^2
≒(3-8+8-4+0.9-0.1+0.0)*10^2
≒(-1.1+0.9)*10^2=-0.2*10^2
この計算は100の位だけが有効桁で10の桁は誤差の範囲に含まれ、有効桁数0桁に桁落ちしているということです。

なので100の桁が有効な桁なので、y=6.37もy=-14も見かけだけの数値で、その値が100より1桁以上、下の桁なので数値的意味はありません。

正確にy=6.37まで計算するには係数の有効桁数を6桁与えて計算し最後の桁を四捨五入しないといけないですね。
従って、エクセルで与える有効桁数を6桁以上にして計算しないといけないですね。エクセルの中では有効桁数は15桁(表示指定しなければ表示されないだけ)なので計算はその精度でやっています。
その係数を、人が介在して、表示されている係数データ(有効桁数を表示していない)を使って、近似多項式を書き写して入力しなおす作業で、有効桁数1桁の近似式になってしまいます。

>R^2も0.999でほとんど1だった
これは、エクセル中の表示されていない正確なデータを使って計算した数値だからです。
エクセルの中で保持しているデータの数値と、デホルト設定(あるいはエクセル使用者が設定した桁数設定)の表示データとは異なりますので、表示データをそのまま他で使わないように注意しないといけないですね。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
R^2についてのご回答ありがとうございました。。
これぞ僕が本当に聞きたかったことでした。
ありがとうございました。

お礼日時:2009/06/18 02:26

データ数が7個で、6次の多項式近似をを行ったのではないのでしょうね。


データ数:Nに対し、(N-1)次式で近似させれば当然R^2は1になりますよね。
近似式をグラフ化すれば分かるのですが、横軸の数値の少しの変化に対し、縦軸は大きく変化しますが、理論的にそれでよいのですか。
一般的にデータの数が少ないときに高次式で近似すると、失敗する場合場が多いと思います。
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この回答へのお礼

今回の件については大丈夫だと思います。
しかし、R^2=1に近ければすべてよいというわけではないとは考えたことがありませんでした。
ありがとうございました。

お礼日時:2009/06/18 02:29

すでに皆さんが近似曲線の係数の精度についてはおっしゃっているので、それ以外のことを言ってみます。



あるデータの近似曲線として6次の多項式が適当なのかどうか?
もしあるデータがなにかの物理モデルで表せるような現象を表しているのならば、たとえそれが正確にデータ点を通らないとしても、そのモデル式で近似すべきです。その点は大丈夫ですか?

また6次の多項式近似を行って得た近似式は、その元となったデータの存在する範囲では正確かもしれませんが、その範囲外では保証されません。そのような使い方をしようとしていませんか?

以上のような点に注意してくださいね。
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この回答へのお礼

皆さんと違ったことをわざわざ教えていただき、ありがとうございました。
今回については考えるべき範囲で曲線は近似曲線とほぼ一致したので問題ないとおもいます。
しかし、それは意識していませんでした。
ありがとうございました。

お礼日時:2009/06/18 02:28

 「プロットした点をほぼすべて正確に通る近似曲線」なのに、


 「実際のデータではx=97.12561のときy=6.37なのですが、この式に代入するとy=-14になる」
というのは、両立しないような気もしますが…。
プロットしたグラフでも y=6.37 と y=-14 では、不一致が目立つのでは?

とりあえず x=97.12561 にて項別試算してみました。

交互に正負になり、正負それぞれを合算してから引き算すると、正項合計がおよそ 1050 、これにマイナス分を加えると -14.8 まで桁落ちしますね。
係数をちょいと振ってみると、y の変化率が大きく、係数感度が大きいみたいです。

慎重な取り扱いを要する式だとしかわかりませんが。
 
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
計数の微妙な違いが結果に大きく響くということはすべての回答者様が教えてくださっていますね。
それほど大事なこということを覚えておきます。
ありがとうございました。

お礼日時:2009/06/18 02:24

前回回答に、



「本当は2桁目以降もあるのですが、エクセルの表示上の都合で、1桁だけしか表示されないのでしょう。」

と書きましたが、それは無視ですか?

エクセルちゃんは、2桁目以降も「知っている」のに、1桁目しか出してくれていないということです。
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この回答へのお礼

再びご回答ありがとうございました。
無視したつもりはございません。
>>本当は・・・とは
表示される係数の桁が省略されており、表示する桁数を増やすと結果に大きな違いが生じるということを言っているだけだと思い、上の文章ではR^2はどの式についての相関関数なのかわかりませんでしたので、補足をつけさせていただいたのです。

ですので補足で聞いたのはR^2のことでした。
R^2がほとんど1にも関わらず、なぜ実際とまったく違う値が算出されるのか。
僕はここで表示されているR^2は、実際に表示された式についての相関関数だと思っていたのですが、R^2は表示されている式ではなく、真の式(2桁目の桁数も考慮した式)についての相関関数を表しているのですね。

お礼日時:2009/06/18 02:23

添付したグラフは x^6 の係数をほんの少し変えたときの近似曲線です。


ANo.1さんのご指摘の通り、次数の大きな項の係数の有効数字の2桁目が変わるとこんなにも変わります。x^5 や x^4 の係数の有効数字も1桁しかありませんが、この桁数を増やせば解決すると思います。

Excel の近似式は、普通に数式表示させると、小さい数値を有効数字1桁で丸めてしまうという致命的な欠点があります。ご存知とのことですが、この質問を初めて見る人のために、有効数字を増やす方法を以下に書いておきます。
   数式をダブルクリック → 表示形式 → 指数 → 小数点以下の桁数を増やす
「多項式近似」の回答画像2
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
わざわざ図をつけてまでの親切なご回答で助かりました。
ありがとうございました。

お礼日時:2009/06/18 02:06

こんにちは。



前にも似たような質問に答えたことがあるのですが、

xの次数が大きい項ほど、yの値に与える影響が大きくなります。
したがって、xの次数が高い項の係数が重要なのですが、
その近似式では、x^6、x^5、x^4、x^3 の係数の有効数字が1桁しかありませんよね。
そこが問題です。
本当は2桁目以降もあるのですが、エクセルの表示上の都合で、1桁だけしか表示されないのでしょう。

1つの案ですが、
t = y×10^7
と置いて、tとxの散布図を作れば、係数の有効数字が2桁以上表示されると思いますので、
やってみられては。

(私、他のソフトを使っていますので、エクセルで確認した回答ではありませんが・・・)


ご参考になりましたら幸いです。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
おっしゃる意味はよくわかります。
実際式の書式設定から表示する桁数をふやすやり方もしっています。
しかし、R^2がほとんど1なのに実際のプロットデータと算出した値とでこうも違いがでるものなのでしょうか?

統計学などはわからないのであまり詳しいことはしりませんが、僕のなかではR^2というのは実際のデータと近似曲線のズレをあらわした値だと思っています。
値が1に近いほどズレは少ないということではないのでしょうか?
つまりR^2=1だとしたら
実際のデータ=近似曲線と思っているのですが・・・。

補足日時:2009/06/17 18:41
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しかし、データ数が少ないのに、いたずらに次数を大きくすると、意図しない、いびつなグラフになってしまうのでご注意を。
データが多い場合でも、大概、次数は3次までよいケースがほとんどです。


以下、蛇足。

詳しい説明は省きますが、
いわば二次関数以上の次数における最小二乗法の一種でして、
各データと、好みの次数を与えてやれば、プログラムが連立方程式を解くことによって、一意に曲線の方程式を決めるという仕組みになっています。
つまりは、"フィッティング"ではなく、多次関数の各項の係数が一意に数学的に解けるのです。
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(1)をx軸、(2)をy軸としてエクセルの関数の式のみでy=a*x^2+b*x+cを求める事は可能ですか?
現状は(1)(x軸)と(2)(y軸)からグラフを書き近似曲線を描かせ、2次の多項式を表示させているんですが、大量にデータがあり、この作業に大変時間を要しています。調べに調べた結果、y=a*x+bの形は関数で表示可能なことは確認取れているんですが、2次の式は未だ発見できません。
非常に困っています。回答の方よろしくお願いします。また何か不明な点があったら何でも言って下さい。

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y の範囲 A2:A10
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として、
C2=B2^2
C10までコピー。

と、しておけば
係数 a =INDEX(LINEST(A2:A10,B2:C10),1)
係数 b =INDEX(LINEST(A2:A10,B2:C10),2)
定数 c =INDEX(LINEST(A2:A10,B2:C10),3)

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・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
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・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
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補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
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参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

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Q近似曲線の数式を手計算で出したい。

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線形近似においては、最小二乗法による推定が最も優れている(不偏かつ分散が小さい)ことがガウス=マルコフ定理によって証明されています。
最小二乗法とはデータが(X1,Y1),(X2,Y2),・・・(Xi,Yi)のように示されていると思うので、そのもとで
Σ(Yi-aXi-b)^2   (i=1,2,3・・・)
を最小化するようなa,bの組を見つけるという方法です。a,bの偏微分によって求めます。
具体的な式としては、Xの平均をX'、Yの平均をY'とし、データ数(標本数)をnとすると、
a=(ΣXiYi-nX'Y')/(ΣXi^2-nX'^2), b=Y'-aX'   (i=1,2,3・・・)
を得ます。
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例えば(X,Y)=(10,6),(12,9),(14,10),(16,10)というデータを考えると、標本数は4、Xの平均は13、Yの平均は8.75、ΣXi^2=696、ΣXiYi=468なので、これを代入して
a=(468-4×13×8.75)/(696-4×13^2)=0.65, b=8.75-0.65×13=0.3となり、
求める式はy=0.65x+0.3となります。

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Σ(Yi-aXi-b)^2   (i=1,2,3・・・)
を最小化するようなa,bの組を見つけるという方法です。a,bの偏微分によって求めます。
具体的な式としては、Xの平均をX'、Yの平均をY'とし、データ数(標本数)をnとすると、
a=(ΣXiYi-nX'Y')/(ΣXi^2-nX'^2), b=Y'-aX'   (i=1,2...続きを読む

Qエクセルの関数による近似式の求め方

エクセル初級者です。こちらのHPに以下ような質問がありますが、近似曲線2次の多項式の切片=0とした、y=a*x^2+b*xの関数表示の方法をお教えいただけないでしょうか。元データのXに0、Yに0を追加し、この回答のようにしてみてもうまくいきません。
ご回答どうぞよろしくお願いします。

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/2815553.html

『(1)1,2,3,4 (2)5,6,7,8
(1)と(2)の二つの数字があります。
(1)をx軸、(2)をy軸としてエクセルの関数の式のみでy=a*x^2+b*x+cを求める事は可能ですか?
現状は(1)(x軸)と(2)(y軸)からグラフを書き近似曲線を描かせ、2次の多項式を表示させているんですが、大量にデータがあり、この作業に大変時間を要しています。調べに調べた結果、y=a*x+bの形は関数で表示可能なことは確認取れているんですが、2次の式は未だ発見できません。
非常に困っています。回答の方よろしくお願いします。また何か不明な点があったら何でも言って下さい。』

それに対しての回答は以下の内容です。
『y の範囲 A2:A10
x の範囲 B2:B10
として、
C2=B2^2
C10までコピー。

と、しておけば
係数 a =INDEX(LINEST(A2:A10,B2:C10),1)
係数 b =INDEX(LINEST(A2:A10,B2:C10),2)
定数 c =INDEX(LINEST(A2:A10,B2:C10),3)

エクセル初級者です。こちらのHPに以下ような質問がありますが、近似曲線2次の多項式の切片=0とした、y=a*x^2+b*xの関数表示の方法をお教えいただけないでしょうか。元データのXに0、Yに0を追加し、この回答のようにしてみてもうまくいきません。
ご回答どうぞよろしくお願いします。

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/2815553.html

『(1)1,2,3,4 (2)5,6,7,8
(1)と(2)の二つの数字があります。
(1)をx軸、(2)をy軸としてエクセルの関数の式のみでy=a*x^2+b*x+cを求める事は可能ですか?
現状は(1)(x軸)と(2)(y軸)...続きを読む

Aベストアンサー

=INDEX(LINEST(A2:A10,B2:C10,FALSE),1)
=INDEX(LINEST(A2:A10,B2:C10,FALSE),2)
=INDEX(LINEST(A2:A10,B2:C10,FALSE),3)
とします。定数項はまぁ計算しなくてもゼロです。


#参考
X=0に対して定数cを通る近似をしたいときはY-cに対して同じ式で計算します。

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エクセルでグラフを作って近似曲線を引いたときの間の数値をセル上に反映させたいのですが、方法はないのでしょうか。
例えば、
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10 0
11
12 5
13
14 
15
16 15
17
18

といったような表をAをX軸、BをY軸でグラフにすると、3点のプロットのみが表示されて、それに近似曲線を入れることができると思います。
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こんにちは
近似線はあくまで近似なので値が違うケースもあると
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y = 2E+08e-0.098x⇒y=2*POWER(10,8)*EXP((-0.098*x))

Aベストアンサー

質問者様はグラフに表示された数式と同じワークシートの数式を正しく作成されています。
(実際の数式ではyはなくxのところにセル参照が入っているのですよね)
元データと合わない原因ですが、グラフに表示された数式の係数の精度不足ではないでしょうか。
それが原因であれば、グラフに表示された数式の表示形式を変更して係数の精度を上げ、その数値でワークシートの数式を作り直せば多くの場合解決します。
どのような数値でも精度良く表示するためには、表示形式を指数にして小数点以下14桁にするとよいと思います。

ご存知かもしれませんが、以下念のためグラフに表示された数式の表示の変更方法を説明します。
Excel2003とExcel2007についての解説となりますが他のバージョンも大きくは違わないと思いますのでそこのところの対応はよろしくお願いいたします。
1.グラフに表示された数式を右クリック
2.2003なら「データラベルの書式設定」をクリック、2007なら「近似曲線ラベルの書式設定」を左クリックする。
3.書式設定のダイアログが出るので、「表示形式」を左クリック(2003は上、2007は左上。最初からクリックされた状態になっている可能性あり。)
4.「分類」(表示形式)の「指数」を左クリック。(「数値」はNG)
5.「小数点以下の桁数」を14にする。(最大30だが「分類」(表示形式)が「指数」ならば15以上は無意味。Excelの精度が15桁であるため。)
6.「OK」を左クリック

なお、質問者様の作成された式の「2*POWER(10,8)」の部分ですが、「2*10^8」「2E+08」「2e8」などとしても数式の値としては同じになります。

質問者様はグラフに表示された数式と同じワークシートの数式を正しく作成されています。
(実際の数式ではyはなくxのところにセル参照が入っているのですよね)
元データと合わない原因ですが、グラフに表示された数式の係数の精度不足ではないでしょうか。
それが原因であれば、グラフに表示された数式の表示形式を変更して係数の精度を上げ、その数値でワークシートの数式を作り直せば多くの場合解決します。
どのような数値でも精度良く表示するためには、表示形式を指数にして小数点以下14桁にするとよいと思...続きを読む

QExcel近似曲線の仕組みについて

Excelグラフの近似曲線についての質問です。

業務でグラフを作成し、近似曲線を出す予定ですが、
Excelの近似曲線はどういった仕組みを使って書き込む方法がありますか?
当方は最小二乗法で書き込む方法しか存じ上げておりませんが、
それ以外にExcelグラフで近似曲線を求める方法はありますか?

業務上精度が悪いと使用できないため、もし他に近似曲線を出せる方法があれば
それも教えて頂きたいです。


よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

どういった近似をしたいのか不明なので,近似全般についてお話しします。

エクセルでは「最小二乗法」を使った近似と,他に「移動平均」を利用することも出来ます。
一般的な意味での「近似曲線」としては,定式化に応じて
・線形近似(直線近似)
・多項式の近似(二次以上の近似)
・指数近似
・対数近似
・累乗近似
などが出来ますが,いずれも最小二乗法を使っているので,基本的な計算方法や精度は同じです。
「グラフに近似曲線を追加する」だけなら,グラフを描いてプロットを右クリック,近似曲線の追加によって希望の近似曲線を追加します。
近似曲線のオプションで「R2」と「近似式」を表示させ,原則としてはR2の値が0.8以上であれば概ね信頼できる近似だと判定します。



>業務上精度が悪いと使用できない

しばしば寄せられるご相談ですが,グラフに表示させた近似曲線の式を「近似値の計算」に使ってはいけません。

「近似値を計算したい」が目的であれば,
・簡単な直線近似なら,FORECAST関数
・一次を含む多項式近似ならTREND関数
・指数近似ならGROWTH関数
を使います。

「近似式のパラメータ(近似係数)を得たい」のが目的であれば
・直線近似ならSLOPE関数とINTERCEPT関数
・多項式近似ならLINEST関数
・指数近似ならLOGEST関数
を使います。具体的な計算方法は,各関数のヘルプをよく読んで計算してください。



参考:
たとえば
A2:A11にXの数値
B2:B11にYの数値
があるとすると
C2に
=LN(A2)
D2に
=LN(B2)
を置いて11行までコピー

=SLOPE(B2:B11,A2:A11)と=INTERCEPT(B2:B11,A2:A11)で線形近似のパラメータ
=SLOPE(D2:D11,A2:A11)と=EXP(INTERCEPT(D2:D11,A2:A11))で指数近似のパラメータ
=SLOPE(B2:B11,C2:C11)と=INTERCEPT(B2:B11,C2:C11)で対数近似のパラメータ
=SLOPE(D2:D11,C2:C11)と=EXP(INTERCEPT(D2:D11,C2:C11))で累乗近似のパラメータ
をそれぞれ得ることも出来ます。


#補足
Excel2002までの近似曲線の計算式にはバグがあるので,近似の計算をしたいときにはExcel2003以降を利用する必要があります。
またExcel2003以降でも,グラフに表示させた近似式には計算間違いしたパラメータが現れる場合があります。


#既にオナカイッパイと思いますので,多項式近似の計算の仕方は下記などを参考に。
http://atiboh.sub.jp/t09takoushiki2.html

どういった近似をしたいのか不明なので,近似全般についてお話しします。

エクセルでは「最小二乗法」を使った近似と,他に「移動平均」を利用することも出来ます。
一般的な意味での「近似曲線」としては,定式化に応じて
・線形近似(直線近似)
・多項式の近似(二次以上の近似)
・指数近似
・対数近似
・累乗近似
などが出来ますが,いずれも最小二乗法を使っているので,基本的な計算方法や精度は同じです。
「グラフに近似曲線を追加する」だけなら,グラフを描いてプロットを右クリック,近似曲線の追加...続きを読む

Qエクセル:近似曲線の使い方を教えて下さい

よろしくお願いします。
エクセルのグラフで『近似または回帰の種類』として
 線形近似  対数近似  多項式近似
 累乗近似  指数近似  移動平均
とありますが、これらの違いを解りやすい言葉で教えていただけないでしょうか?
どういう風に使い分ければ良いのか、どんな線が欲しい時にどれを使えば良いのか、覚えたい(理解したい)のですが、数学が全く判らないので困っています。線形近似と移動平均は何となく判るのですが、残りがまるでダメです…

Aベストアンサー

参考してください。
それぞれについて説明があります。
http://office.microsoft.com/ja-jp/help/HP052623211041.aspx

参考URL:http://office.microsoft.com/ja-jp/help/HP052623211041.aspx

Qexcelグラフ R-2乗値について

excelグラフ R-2乗値について

お世話になっております。
excelについて質問です。
A社、B社の測定データから相関のグラフを書き
近似曲線を引きさらに、近似曲線のオプションタブ内にR-2乗値を表示するとあります。
このR-2乗値って何を意味するものなのでしょうか?

解り易く説明いただければ幸いです。
宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

すみません、先ほどの回答の補足です。
画像がうまくアップロードできていませんでした。
左上がR-2乗値が1のとき、
右上がR-2乗値が0.64のとき、
左下がR-2乗値が0のときです。


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