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複素関数論で出てくるC∞級とは、無限回微分可能である関数
というように定義されると思うのですが、
そのような関数で思い当たりがあるのはsin, cos , expくらいなのですが、
他にC∞級の関数は存在するのでしょうか?

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A 回答 (7件)

> x^nや、1/xも同様にx=0で傾きが発散してしまうと思うのですが



x^n (n は自然数) の n 階導関数は、定数関数です。
発散しませんよ?

f(x) = 1/x は、f(0) で定義されていませんし、
{ |x|^(4+1/3) } / x のように f(0) の値を追加して x=0 で連続に
拡張することもできません。
よって、lim[h→0] { f(0+h) - f(0) } / h の収束性以前に、
{ f(0+h) - f(0) } / h が考えられないのです。

No.1 の人が 1/x を C^∞ 級と言っているのは、
1/x は x≠0 で定義された関数であり、その全域で C^∞ 級
という意味です。(たぶん)

No.2 で話題にしているのは、実数全域で C^n 級か
ということです。(No.4 も参照)
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再度解説多謝。



でも、{ |x|^(4+1/3) } / x の説明は、ちょっと違います。
3回微分すると、(|x| / x) |x|^(1/3) みたいな形になります。
これは、x^3 の逆関数です。
x = 0 は、尖っておらず、傾きが +∞ に発散しています。

御指摘の通り、No.2 の例は、
連続かつ微分不能な関数を、積分して見つけました。
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この回答へのお礼

何度もすいませんが、やはりよく分からなくなりました。

(|x| / x) |x|^(1/3) がx=0で微分不能なのはx=0で傾きが +∞ に発散しているからである、ということなのですが、
x^nや、1/xもx=0で同様にx=0で傾きが発散してしまうと思うのですが(前者はn回微分することで)、
なぜこれらはC∞級になるのでしょうか?
どういうことなのでしょうか?

お礼日時:2009/06/28 15:07

No.3 のコメントについて



> No2さんの例で{ |x|^(4+1/3) } / x はなぜC3級になるというのですか?

大雑把に言うと,3回くらい微分すると f'''(x) ~ |x|^(1/3) みたいになり,
この関数は原点でとがっている関数なので,微分不能で C^4 になりません.
(厳密には No.3 で述べたように確認する必要があります)

ちなみに { |x|^(4+1/3) } / x = { |x|^(3+1/3) } は間違ってます.
左辺は正負両方取るのに右辺は正しか取りませんよね.


> 式を見てC何級であるかということはどこを見れば分かることなのでしょうか?

ぱっと見て分かるものではありません.

いろんな関数の例を知り(x sin(1/x) や |x|^(1/3) が連続だけど微分不能だとか),
それの類推でいろんな関数について自分で確認することで,
なんとなくそうかな,という感覚がつかめるようになります.
ただ,最終的には No.3 でやったような確認をその都度やる必要があります.

一応,C^n 級関数の和・積・合成が(適切な領域で)C^n 級であることが
微分の定義から分かるのでこれを使うとある程度確認が簡単になります.
(例えば  x^3 sin(1/x) が原点以外で C^∞ なのは x^3 と sin(x) が全域で C^∞,
 1/x が原点以外で C^∞ であることから直ちに出ます.)
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No.3 さん、解説多謝。


No.2 は、説明が足りなかったようです。

あの二つの例は、1/x とは異なり、
x→0 の極限が収束します。
その極限を x=0 での値として
定義域の穴を埋めれば、
x=0 において C~3 級になっているのです。

x≠0 で C~∞ 級なのは、
自明ですけど。
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No.2 のコメントについて.No.2 さんの例を少し変えて


f(x) = x^3 sin(1/x)  (x ≠ 0)
   = 0  (x = 0)
という関数のなめらかさを確認してみましょう.
(簡単のため x のベキを3に下げて,f(0)の値をちゃんと書いた)
原点以外の連続性・微分可能性は明らかなので,
原点でだけ確認していきます.

まず C^0 級(連続)を確認します.これは
 |f(x) - f(0)| = |x^3 sin(1/x)| ≦ |x^3|
なので x → 0 とすると f(x) → f(0) となるので分かります.

次に C^1 級(微分が存在して連続)を確認します.
まず,原点で微分可能です.実際
 |(f(x) - f(0))/x| = |x^2 sin(1/x)| ≦ |x|
なので x → 0 での値が存在して f'(0) = 0 となります.
次に,f'(x) は原点で連続です.実際
 f'(x) = 3 x^2 sin(1/x) - x cos(1/x) (x ≠ 0)
なので,
 |f'(x) - f'(0)| = |3 x^2 sin(1/x) - x cos(1/x)|
         ≦ 3 |x^2| + |x|
なので x → 0 とすると f'(x) → f'(0) となります.

最後に C^2 級(導関数に微分が存在して連続)でないことを確認します.
実際,f' が原点で微分できないのですが,これは
 |(f'(x) - f'(0))/x| = |3 x^2 sin(1/x) - cos(1/x)|
としたとき,右辺が cos(1/x) のおかげで収束しないためです.
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

後二つだけ質問させて下さい。

No2さんの例で{ |x|^(4+1/3) } / x はなぜC3級になるというのですか?

{ |x|^(4+1/3) } / x = { |x|^(3+1/3) }
でx^2と同じくxの全域において何回でも微分出来ると思うのですが・・・


それと、No2さんは2つも例を挙げて下さいましたが、式を見てC何級であるかということはどこを見れば分かることなのでしょうか?
特にC∞級であるかということの見分け方或いは法則があれば教えて下さい。

よろしくお願い致します。

お礼日時:2009/06/27 14:13

定数関数は、ゼロだろうと、他の値だろうと、微分可能でしょう?


導関数の定義に戻って、確認してみるとよいです。

C^3 級には、{ |x|^(4+1/3) } / x とか、(x^4) sin(1/x) とか、
ありますね。

1/x のような、「定義域では」C^∞ 級なモノも含めるのなら、
定義域を一点の近傍に制限してしまうことも、考えたらどうでしょう?

適当な数列 a_n を持ってきて、級数 Σ[n=0→∞] (a_n)(x - c)^n を作ると、
この級数は、収束半径が 0 で無い限り、x = c のとある近傍において
C^∞ です。

級数の例を見ると、C^∞ が相当たくさん在る…という手応えが
感じられると思います。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

でも、{ |x|^(4+1/3) } / x とか、(x^4) sin(1/x) が
C^3 級である理由がありません。
定数関数が微分可能であると認めるなら
どちらもx^nと同じで何回でも微分出来るように思うのですが、
どういうことでしょうか?

お礼日時:2009/06/27 00:59

x^nも、1/xも、定数関数も無限回微分可能です。

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この回答へのお礼

ありがとうございます。

1/xは確かにそうだと思うのですが、
x^nや定数関数は違うのではないでしょうか?
例えばx^nを微分していくと最後には定数関数になります。
定数関数の微分はゼロになります。
ゼロの微分はゼロになりますが、これは微分としていいということなのですか?

とするとC3級とか有限回の微分しか出来ない関数って一体何のことなのでしょうか?

お礼日時:2009/06/26 23:20

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Q関数f(x)がC∞-級関数であることの証明

(1)f(x)が連続関数で、x≠0で微分可能かつ
lim[x→+0]f'(x)=lim[x→-0]f'(x)=A (Aは実数)
ならば、f(x)はx=0でも微分可能でf'(0)=Aとなることを示せ。

(2)

f(x)=0 (x≦0のとき)
f(x)=e^(-1/x) (x>0のとき)
とするとき、f(x)はC∞-級関数であることを示せ。
***************

という問題で、(1)についてはロピタルの定理から簡単に示せるので、分からない点はありません。
(2)なんですが、x>0のとき任意のn=1,2,3,・・・に対し、{f(x)}^(n)は
Σ[k=0→2n]{{a【k】}*e^(-1/x)}/x^kの形に表せます。
∀rについてCr-級をrに関する帰納法で示したいです。
r=1のときf'(x)={e^(-1/x)}/x^2
だから1回微分可能。また、lim[x→0]f'(x)=0=f'(0)よりf'(x)は連続。
よってr=1のときにCr-級であることが証明されました。
この後、どうやっていいかわからないので教えてください。

(1)f(x)が連続関数で、x≠0で微分可能かつ
lim[x→+0]f'(x)=lim[x→-0]f'(x)=A (Aは実数)
ならば、f(x)はx=0でも微分可能でf'(0)=Aとなることを示せ。

(2)

f(x)=0 (x≦0のとき)
f(x)=e^(-1/x) (x>0のとき)
とするとき、f(x)はC∞-級関数であることを示せ。
***************

という問題で、(1)についてはロピタルの定理から簡単に示せるので、分からない点はありません。
(2)なんですが、x>0のとき任意のn=1,2,3,・・・に対し、{f(x)}^(n)は
Σ[k=0→2n]{{a【k】}*e^(-1/x)}/x^kの形に表...続きを読む

Aベストアンサー

非常に有名な「解析的でない(テイラー展開できない),滑らかな関数」の例ですね.

一般に,任意の非負整数 m と x > 0 について
 1/(m+1)! (1/x)^{m+1} ≦ Σ1/k! (1/x)^k = exp(1/x)
なので,
 (1/x)^m ≦ C x exp(1/x)
が成り立ちます(C は m に依存する定数).

さて,証明すべきことは
 lim_{x→+0} f^{(n)}(x) / x = 0
でした.f^{(n)}の具体形を代入すると
 f^{(n)}(x)/x = (n次多項式) exp(-1/x) / x^{2n+1}
という形でかけます(n次多項式の形は使わないので略).
ここで上の不等式を(m = 2n+1 として)使うと
 |f^{(n)}(x)/x| ≦ C x |(n次多項式)|
となるため,両辺で x → +0 とすれば示したかった極限が得られます.

なお,上記の部分では,帰納法を使っていません.
通常この主張の証明で帰納法を使うのは,f^{(n)} の形を決定するところです.

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 (1/x)^m ≦ C x exp(1/x)
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QC1級関数って何ですか?

級数の勉強をしていると、
” C1級数関数 ”
(※ 1はCの右上の小さい文字。表記できませんでした。)
という用語が出てきたのですが、どういう意味なのかわかりません。
どういう関数なのか教えてください。

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こんにちは.Esnaです.

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Q陰関数の定理がわかりません

陰関数の定理について、
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説明していただけないでしょうか?
(漠然とした質問で申し訳ありません)
___________________________________
 陰関数の定理:
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点(a, b) において
f(a, b) = 0; fy(a, b) ≠ 0とする.
このときa を含むある小さな開区間I をとれば
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さらに
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___________________________________

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とりあえず,もうちょっと偏微分や関数の勉強を
頑張ってください.
何か根本的な部分を勘違いしている可能性があります.

>f(x,y)=0はそもそもxy平面上でのことで、3次元ではないのに、
>どうやって“fy(a, b)”を考えることができるのでしょうか?
>fy(a, b)は3次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

これは次のように表現を変えてみましょう

f(x)=0はそもそも数直線上でのことで、2次元ではないのに、
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f'(a)は2次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

おっしゃってることが「おかしい」ことがお分かりになりますか?

f(x,y)というのは,R^2上の関数fの点(x,y)での値です.
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これは y=f(x) が平面のグラフになることと同じです

翻って,f(x,y)=0 というのは,
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また,偏微分f_y(x,y)も単に点(x,y)での値に過ぎませんので
3次元とか考えずに計算できます.

陰関数の定理というのは,
陰関数f(x,y)=0を,y=φ(x)という形で表現できる
ということを(特定の条件下で)保証する定理で
実際は,いろいろな理論の根底で使われます.

とりあえず,もうちょっと偏微分や関数の勉強を
頑張ってください.
何か根本的な部分を勘違いしている可能性があります.

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>どうやって“fy(a, b)”を考えることができるのでしょうか?
>fy(a, b)は3次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

これは次のように表現を変えてみましょう

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Q大学数学の勉強のしかた

大学で学ぶ数学の勉強の仕方に迷っています。

(1)高校までは、公式を覚える→問題演習 という流れで勉強をしていました。高校数学は、大学入試の問題が解けることがゴールだと思っていました。しかし、大学の数学は、何ができればゴールなのでしょうか?

(2)高校では、公式を覚え、問題を解いてました。大学の数学では定理、定義、命題、補題など、公式らしきものの量が多いですよね?全て覚えようとしたら相当な暗記量を強いられます。これらは全て暗記、または自力で導き出せるようにする必要があるのでしょうか?

(3)定理などは全て証明がついていますが、これらの証明を全て自力でできるようにならなければならないのでしょうか??

今、微積分、線形代数、集合論、ルベーグ積分などを勉強しています。今僕がやっている方法は、教科書の定理、定義などを暗記し、証明はわかるところだけ読んでいます。問題演習は、やったりやらなかったりです。
しかし、この方法だと、定理などの証明が理解できないことが多く、なかなか先に進みません…

以上が、勉強していく上での疑問です。どなたかアドバイスいただければ幸いです。

大学で学ぶ数学の勉強の仕方に迷っています。

(1)高校までは、公式を覚える→問題演習 という流れで勉強をしていました。高校数学は、大学入試の問題が解けることがゴールだと思っていました。しかし、大学の数学は、何ができればゴールなのでしょうか?

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Aベストアンサー

大学での学び方に関する本は何冊も出版されていますから、図書館で探されてはいかがでしょう。
 本格的な数学の学び方に関する本であれば、

伊原 康隆 (著)志学数学―研究の諸段階・発表の工夫 シュプリンガー数学クラブ
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などは薄いし、大学図書館にも入っているでしょうし、一読する価値はあると思います。

 また、日本評論社の『数学セミナー』、サイエンス社の『数理科学』、現代数学社の『理系への数学』といった理系の大学生向けの数学雑誌が大学図書館に入っていないわけはないと思いますし、時期的に勉強の仕方を扱った記事も載っていると思いますから、少し時間を作って、バックナンバー含め眺められてはいかがでしょうか。

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Q上極限、下極限が理解できません

大学で習っているのですが、limsupやliminfなどが定義を見ても、どういう意味なのか理解できません。

上界、下界、上限、下限については例があったので、なんとか理解することができました。


X={1,2,3}⊆Zのとき、下界の1つとして0がとれる。

こんな感じで、簡単な例つきで説明して下さると、理解できると思うのですが・・・。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

上極限

sin(n)で考えましょう。nは自然数です。
sin(n)は振動しているので極限はないけど、
「nが大きい時(というか初めからだけど)1を超えることはない」
「1付近の値を何回も(無限回)とる」
から1が上極限です。
ことばでいえば、
「ずっと先のほうでは、上極限の値より大きくならない」
(極限の意味でです。∀ε>0に対し上極限+εより大きくならないってことです)



この例では下極限はー1ですね。

(sin(n)-1)*n の場合だと、
上極限は0で、下極限は「なし」(-∞)となりますね。

QΣと∫って入れ替えできるんですか!?

Σと∫を入れ替えられる条件とはなんでしょうか?
例えば
∫Σt^n/n!dt
という式があって
Σ∫t^n/n! dt
のようにΣと∫が入れ替えて使っているのを見たことがあります。

さらに、同じようにlimと∫が入れ替えて使える時と言うのはどういうときなんでしょうか?
lim∫1/t dt 
=∫lim1/t dt
みたいな感じです。

お願いします!教えてください!!

Aベストアンサー

#1です。
A#1の補足について
普通の有限項和のΣではもちろんできることは積分の定義から明らかですのでA#1のように回答したわけです。
漠然とした一般的な質問では一般的な回答しか得られません。

無限項和の特別なケースの場合などについての回答を得たければ
>出来ない場合もあって、交換したら答えが異なるケースがあったんで
このケースの具体的な式や例をあげて、こういう場合は交換できませんか?
この交換での式変形はあっていますか?
特に積分の範囲やΣの和の範囲を明記して、有限範囲なのか、無限範囲なのかも明記する
などして質問を投げないと希望するような回答は得られませんよ。
特に、特異なケースも含めた一般論の回答は特に難しいですから(現在も解決していない特異なケースも含まれる可能性もあるので)。

また、どの程度(高校レベル、大学レベル、それ以上の大学院や専門家レベル)での回答を求められているか、回答者には分かりませんし、
質問者に理解できないレベルの回答をしても意味がないですから。

有限と無限の間には、簡単に有限で成り立つ法則が必ずしも、無限では成り立たない(適用できない)ケースがしばしば現れますから。。。

#1です。
A#1の補足について
普通の有限項和のΣではもちろんできることは積分の定義から明らかですのでA#1のように回答したわけです。
漠然とした一般的な質問では一般的な回答しか得られません。

無限項和の特別なケースの場合などについての回答を得たければ
>出来ない場合もあって、交換したら答えが異なるケースがあったんで
このケースの具体的な式や例をあげて、こういう場合は交換できませんか?
この交換での式変形はあっていますか?
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Q微分 級数 C^n級

微分 級数 C^n級

C^1級やC^2級の具体例が知りたくて質問させて頂きました。
因みに、多項式はC^∞級でありC^1級でもあることは理解しています。

C^2級の例:y=|x|^3
y'=-3x^2 (x<0), 3x^2 (x>0) これは連続
y''=-6x (x<0), 6x (x>0) これは連続
しかし,y'''は原点で定義されないので,y'''は連続ではない
したがって,y=|x|^3 はC^2だがC^3ではない.

C^1級の例:y=|x|^2
上と同じ。

因みに、C^0級なるものを聞いた事がないのですが、
上の例に従うとy=|x|はC^0級となると思います。
この考えは間違っているでしょうか?

以前、別の質問でご回答頂いたのですが、
C^1⊂C^2 ⊂ C^3 ⊂ C^4 ⊂ …
となることは理解しています。
C^0級は、集合としてC^1級よりも大きいのでしょうか?
C^0⊂C^1となるのでしょうか?

以上、ご回答よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

また、山程の量の追加質問ですね。
一応回答しておきますが、
どうせ今回も、一部しか読まないのでしょう?


> 右極限:lim[x→+0]y´=0
> 左極限:lim[x→-0]y´=0
> よって左右の極限が等しいので
> y=|x|^2は、x=0で微分可能。

y が x=0 で微分可能かどうか調べたいなら、
lim[x→+0]y´= lim[x→-0]y´ か否かではなく、
lim[x→+0](y(x) - y(0))/(x-0) = lim[x→-0](y(x) - y(0))/(x-0)
か否かを確認しなくては。
lim[x→+0]y´= lim[x→-0]y´だが x=0 で微分区可能な y
の実例を、A No.6 に挙げておきましたよ?


> 右極限:lim[x→+0]y´=1
> 左極限:lim[x→-0]y´=-1
> よって、左右の極限が異なるので
> y=|x|は、x=0で微分可能でない。

lim[x→+0]y´≠ lim[x→-0]y´ によって示されるのは、
y が x=0 で微分不可能なことではなく、
y´ が x=0 で連続でないこと(だけ)です。
y が x=0 で D^1 級である可能性は、まだ否定できていません。


> C^0級は単に連続関数を表すのでしょうか?
> 一回も微分可能でない関数を示すのでしょうか?

そういう習慣です。


> 例えば、y=|x|^3はC^2級であるとは、
> 原点に対してC^2級ですよね。
> その他の点ではC^∞級だと思います。

定義域の全域で C^n 級であることを、関数が C^n 級だと言います。
定義域を明示しなければ、話にならないのは当然ですが。

例えば、全実数 x で定義された |x|^3 は、x=0 で C^2 級であり、
x≠0 でも( C^∞ 級なので、同時に) C^2 級でもあります。
よって、定義域全域で C^2 級です。
x=0 で C^2 級ですから、定義域全域で C^∞ 級にはなりません。
C^n 級の包含関係は、こんどこそ理解できたのでしょうね?

また、山程の量の追加質問ですね。
一応回答しておきますが、
どうせ今回も、一部しか読まないのでしょう?


> 右極限:lim[x→+0]y´=0
> 左極限:lim[x→-0]y´=0
> よって左右の極限が等しいので
> y=|x|^2は、x=0で微分可能。

y が x=0 で微分可能かどうか調べたいなら、
lim[x→+0]y´= lim[x→-0]y´ か否かではなく、
lim[x→+0](y(x) - y(0))/(x-0) = lim[x→-0](y(x) - y(0))/(x-0)
か否かを確認しなくては。
lim[x→+0]y´= lim[x→-0]y´だが x=0 で微分区可能な y
の実例を、A No.6 に挙げておきましたよ...続きを読む

Q無限級数 C^∞級 意味

無限級数 C^∞級 意味

マクローリン展開を勉強していてちょっと分からない点が
あるので質問させて下さい。

無限級数とは、Σ[k=1~∞]akのような級数の事だと認識しています。
因みに、級数とは数列a1,a2・・・akを加法で結んだものだと認識しています。

C^∞級とは、f(x)無限階微分可能かつf^∞(x)が連続である事だと認識しています。

上記認識で正しいでしょうか?

また、マクローリン展開の余剰項が理解できていないので教えて下さい。
e^xのマクローリン展開すると、
e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n
e^x=Σ[n=0~∞]((x^n)/(n!))
となります。
n次以上の余剰項をどのように表してよいか分からないので
すが、余剰項について詳しく教えて頂けないでしょうか?

以上、よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

ちょっと機械的だけど、補足質問に一つずつ答えます。


「e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n+R(x^(n+1))
e^x=Σ[n=0~∞]((x^n)/(n!))
が同じである事が理解出来ないので、気持ち悪いと書かせて
頂きました。」

それは、e^x=Σ[n=0~∞]((x^n)/(n!))が成り立つということが既に分かってるんであれば、簡単ですよ。

剰余項R(n+1)(ここではこの記号で行きます)のそもそもの定義は、
R(n+1)=e^x-(1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n) …(1)
である、と考えればいい。
だから、
e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n+R(n+1) …(2)
は自明です。
だから、e^x=Σ[n=0~∞]((x^n)/(n!))と級数展開できることが分かってれば、全てのnについて、
1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n+R(n+1)=Σ[k=0~∞]((x^k)/(k!))
が成り立つのも当たり前のことです。

この話には注意すべき点がもちろんあります。

まず、テイラーの定理は、(2)のような自明な関係を述べてるだけのものじゃありません。
R(n+1)が、(1)とは違う、自明でない、意味のある式表現(というか、R(n+1)がとりうる値の範囲かな)を持ってることを、述べてますよね。
alice_44さんが言ってるように、R(n+1)にはいくつかの式表現があります。
どれも、(1)で定義される、e^xとn次マクローリン多項式との差の、評価の仕方であるということです。

また、級数展開可能性は、(2)において
lim[n→∞] R(n+1)=0 …(3)
であることを確かめないと、分かりません。
だから、上のように級数展開可能性を前提として議論するんじゃなくて、剰余項を定義し、その値を評価し(テイラーの定理)、その極限によって、級数展開可能性の条件を求める、というのが普通の話の順序です。



「e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n+R(x^(n+1))
なぜ、n+1だけ剰余項として記載されるのでしょうか?」

そもそも、R(n+1)が(1)で定義されてるから、各nについて、(2)のような表現ができる、ということに過ぎない。



「e^xはC^∞級なのに、n+1乗で終わっているのが理解できない
点です。」

これも上と同じ。
全てのnについて(2)のように書けることは、無限級数で表せることを、意味しません。
(3)がないとダメです。
kabaokabaさんの回答を読み直してください。



「また、C^1級関数は、y=|x|^2という認識でOKでしょうか?」

つまり、y=x^2(xは実数)ですか?
これはC^1級だし、C^∞級でもあります。
1階微分できて1階導関数が連続なだけでなく、何回でも微分できますよね。

ちょっと機械的だけど、補足質問に一つずつ答えます。


「e^x=1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n+R(x^(n+1))
e^x=Σ[n=0~∞]((x^n)/(n!))
が同じである事が理解出来ないので、気持ち悪いと書かせて
頂きました。」

それは、e^x=Σ[n=0~∞]((x^n)/(n!))が成り立つということが既に分かってるんであれば、簡単ですよ。

剰余項R(n+1)(ここではこの記号で行きます)のそもそもの定義は、
R(n+1)=e^x-(1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n) …(1)
である、と考えればいい。
だから、
e^x=1+x+(1/2!)x...続きを読む

Qルベーグ可測集合ってなんですか???

ルベーグ可測集合を上手く捉えられません。

頭が悪いので簡単に説明して下さい。

今の自分の解釈は、

長さや面積や体積を持つ図形はどんな集合と言えるか?↓

ルベーグという名前の人が、これら(の図形)は測ることが出来るので、

長さや面積や体積を持つ図形の集合を「ルベーグ可測集合」と名付けた。

        長さ確定図形・・・・・・・・・・・・   1次元ルベーグ可測集合
        面積確定図形・・・・・・・・・・・・   2次元ルベーグ可測集合
        体積確定図形・・・・・・・・・・・・   3次元ルベーグ可測集合  という。

私の疑問は、Q1.長さや面積や体積を持つ図形以外に、ルベーグ可測集合に属するものは無いのか???

ということと、

Q2.「全ての図形はルベーグ可測というわけではない」  とは、どういう意味なのか???

ということです。測ることが出来ないくらい巨大な(宇宙サイズ?)図形に対して言ってるんですかね???

ちなみに、

面積(体積)がゼロの図形は、面積(体積)が0で確定しているので、面積(体積)を持つというそうです。
ってことは、面積(体積)0の図形はルベーグ可測集合に属しますよね?

面積が0の図形とは、円盤じゃなくて円周のこととか、
体積が0の図形とは、壁の無いお家(柱、骨組み)のこととか・・・ですか???

なんか的外れなことを言っていたらすみません・・・・

すっごく分かりやすく教えて下さい。

ルベーグ可測集合を上手く捉えられません。

頭が悪いので簡単に説明して下さい。

今の自分の解釈は、

長さや面積や体積を持つ図形はどんな集合と言えるか?↓

ルベーグという名前の人が、これら(の図形)は測ることが出来るので、

長さや面積や体積を持つ図形の集合を「ルベーグ可測集合」と名付けた。

        長さ確定図形・・・・・・・・・・・・   1次元ルベーグ可測集合
        面積確定図形・・・・・・・・・・・・   2次元ルベーグ可測集合
        体積確定図形...続きを読む

Aベストアンサー

次元は本質的ではないです。ちょっと誤解をうみやすい説明でしたね。
すみません。

理解のために、ユークリッド空間に限定してみましょう。例えば数直線(一次元)を全体集合とする場合で考えましょう。そして、長さの概念を考えましょう。ひとつの点(からなる集合)は、長さが0です。0、1区間[0,1](これも集合です)の長さは1です。数直線全体の長さは無限大です。(0でも無限大でも、定まっていれば長さです)ここまではえがける図で表現できます。

それでは、区間[0,1]の中の有理数からなる集合Xの長さは? これは図ではえがけませんが集合です。集合Xの長さを考える時に、複数の細かい区間で覆っていくことを考えます。有理数の集合は可算ですから、有理数をQ1,Q2,Q3,Q3,,,と番号をふることができます。例えば、Q1を長さ1/2の区間で囲み、Q2は長さ1/2~2で囲み、Q3は1/2~3で囲み、、、、と。この場合、覆う区間の長さの合計は、等比級数の和で1になります。次に覆う区間を短くしていきます、たとえば、Q1を長さ1/2~2の区間で覆い、Q2は長さ1/2~3で覆い、Q3は1/2~4でおおいと、、、(先ほどの等比級数であらわれた長さをひとつ、ずらしたものです)、、、この区間の長さの合計は1/2になります。このように、おおう区間をどんどん細かくしていくと、区間の長さの合計は0に収束します。この収束値0を、区間[0,1]の中の有理数からなる集合Xの長さとしましょうというのがルベーグの考え方です。(有理数からなる集合Xは可算ですから、こんなことは本当は必要ないのですが)、長さを決めるこのような方法を、数直線のいろいろな部分集合に適用して考えていきましょうというわけです。


以上の方法で集合の長さが決まり、どんな分割の方法であれ、わけられた部分の長さの合計が、その集合の長さと一致すれば、正しく長さを定めたことになりますが、それができない場合があるというのが、ルベーグ可測でない場合です。例えば、以下のリンクにあります

pauli.isc.chubu.ac.jp/~fuchino/papers/nagoya-logic-seminar-05.pdf

平面(2次元)を全体集合とし、その部分集合の面積を考える場合、長方形からなる区間でおおっていくことになります。そして、おおう区間を細かくしていって、、、おおう長方形の合計の面積の収束先を面積としましょうというわけです。

次元は本質的ではないです。ちょっと誤解をうみやすい説明でしたね。
すみません。

理解のために、ユークリッド空間に限定してみましょう。例えば数直線(一次元)を全体集合とする場合で考えましょう。そして、長さの概念を考えましょう。ひとつの点(からなる集合)は、長さが0です。0、1区間[0,1](これも集合です)の長さは1です。数直線全体の長さは無限大です。(0でも無限大でも、定まっていれば長さです)ここまではえがける図で表現できます。

それでは、区間[0,1]の中の有理数からなる集合Xの長...続きを読む

Q微分可能なのに導関数が不連続?

一般にm回微分可能でも(d^m/dx^m)f(x)は連続ではないそうですが(本で読みました。)
f(x)が微分可能で、導関数f'(x)が連続でないような関数f(x)の例を教えてください。

傾きが不連続(導関数f'(x)が不連続)なのに滑らか(微分可能)ってのがどうもイメージできないので。

Aベストアンサー

oodaiko先生とだぶってしまったので補足します。
(私が書き始めたときは回答者数0だったもので・・・)

f '(x)=2x sin(1/x)-cos(1/x) がx=0で連続でないことを示します。
すなわち、
lim(x→0) f '(x) が存在しないことを示します。
「lim(x→0) f '(x) が存在するならば
0に収束する任意の数列An,Bnについて
lim(n→∞) f '(An)=lim(n→∞) f '(Bn)
が成り立つ。」
という定理があったことを思い出してください。
An=1/(2nπ)、Bn=1/(2nπ+π/2) としますと
lim(n→∞) f '(An)=lim(n→∞) {1/(nπ) sin(2nπ)-cos(2nπ)}
 =lim(n→∞) (-1)=-1
lim(n→∞) f '(Bn)
 =lim(n→∞) {2/(2nπ+π/2) sin(2nπ+π/2)-cos(2nπ+π/2)}
 =lim(n→∞) (2/(2nπ+π/2))=0
よって、lim(n→∞) f '(An)≠lim(n→∞) f '(Bn)
「 」の定理の対偶を考えると、
lim(x→0) f '(x) が存在しない
ことが分かりますね。

ところでoodaiko先生に質問したいのですが。

>lim_{x→0} ( 2x sin (1/x) - cos (1/x))
>= lim_{x→0} 2x sin (1/x) - lim_{x→0} cos (1/x)

の部分です。
lim(f(x)+g(x))=lim f(x)+lim g(x)
が成り立つのは
lim f(x)、lim g(x)がそれぞれ存在するとき
ですよね。でもlim_{x→0} cos (1/x) は存在しない・・・
実は私が読んでいた本でもoodaiko先生のように証明しているんです。
何か特殊な事情でもあって、この場合は例外的に
lim(f(x)+g(x))=lim f(x)+lim g(x)
が成り立っているのでしょうか。

oodaiko先生とだぶってしまったので補足します。
(私が書き始めたときは回答者数0だったもので・・・)

f '(x)=2x sin(1/x)-cos(1/x) がx=0で連続でないことを示します。
すなわち、
lim(x→0) f '(x) が存在しないことを示します。
「lim(x→0) f '(x) が存在するならば
0に収束する任意の数列An,Bnについて
lim(n→∞) f '(An)=lim(n→∞) f '(Bn)
が成り立つ。」
という定理があったことを思い出してください。
An=1/(2nπ)、Bn=1/(2nπ+π/2) としますと
lim(n→∞) f '(An)=lim(n→∞) {1/(nπ) sin(2nπ)-...続きを読む