出産前後の痔にはご注意!

初投稿です。よろしくお願いします。

タイトルの通り離散数学の問題なのですが、教科書やノートを参照しても
答えがなかったのでどなたか詳しい方がいればと思い投稿させていただきました。
以下問題です。


下記の条件を満たす2項関係の事例をそれぞれ1つずつあげなさい。
このとき、それぞれが各条件を満たす理由を説明しなさい。

1、反射律と推移律は満たすが、対象律は成立するとは限らない。
2、推移律は満たすが、反射律と対象律は成立しない。
3、反射律と対象律は満たすが、推移律は成立しない。

1番のみ答えがあったのですが、まず、集合の例を挙げて(友達のノートに書いてあったのを見ただけでちゃんとした答えはないのですが、確か{1,2,3,4,6,12}で1/1、2/2・・・などやっていた)証明していました。なんでその例が出てきたかもそれがなんで1の条件を満たすかもあまり理解できませんでした。

できれば、わかりやすく簡単に証明できればありがたいです。

2,3番は、どこにもなかったのでもし分かる方がいればよろしくおねがいします。




実は、前期にテストがあって勉強はある程度は、やったのですが、106人受講してて105人が落ちるという前代未聞な結果となったので再テストとなりました。火曜日にテストがあって必修なのでこれを落とすとキャンパス移動が出来なくなる可能性があります。

大変困っています。どうぞよろしくおねがいします。

A 回答 (4件)

対象律 → 対称律


1、自然数の集合で≦という関係を考えると反射律と推移律は満たすが、対称律は成立するとは限らない。
2、自然数の集合で<という関係を考えると推移律は満たすが、反射律と対称律は成立しない。
3、M(2,Z)で
  AB = BA
という関係を考えると反射律と対称律は満たすが、推移律は成立しない
例)
A=
┌1 1┐
└1 1┘
B=
┌1 0┐
└0 1┘
C=
┌2 0┐
└0 1┘
とすると、AB=BA, BC=CB, AC≠CA
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
私が見た例は、質問にあげたようなものだったのですが、行列でも
できるということですね。
2、3番の例も教えてもらえませんか?

お礼日時:2009/10/25 21:48

例がNo1の人と同じになってしまったので、別の例を挙げます。


1、整数の集合でa│b(aはbを割り切る)という関係を考えると反射律と推移律は満たすが、対称律は成立するとは限らない。
2、体Lは体Kの拡大体(KとLは異なる)という関係を考えると推移律は満たすが、反射律と対称律は成立しない。
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この回答へのお礼

私がノートで見た解答は1のような割り切れるという関係のものでした。
ありがとうございました。

お礼日時:2009/10/30 14:52

>教科書やノートを参照しても答えがなかったので



よく読めば書いてある。

>106人受講してて105人が落ちるという前代未聞な結果

教科書も満足に読めないようでは、無理もありません。
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この回答へのお礼

なんでノートも知らないのに書いてあるか分かるんだろ?これは先生なのかな?
ノートに書いてあればわざわざ質問しませんよ。上のような解答初めて聞きましたし。
とりあえず、役にたたない回答ですね。

お礼日時:2009/10/25 21:56

対象律ではなく、対称律ですね。



反射律・対称律・推移律の定義が分かってますか?

整数や実数の集合では、
1は、通常の「≦」の関係
2は、通常の「<」の関係
3は、「|x-y|≦1」を満たす関係

が条件を満たします。
理由は説明するまでもないでしょう。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
私は、反射律はaRaが成り立つ、対称律はaRb→bRaが成り立つ、推移律はaRb∧bRc→aRcが成り立つとこの程度しか分かりません。
それから1,2,3,のようなものが出てくるとは全くわかりませんでした。
理由は説明するまでもないのでしょうが・・・例付きで説明していただけると
大変ありがたいです。

お礼日時:2009/10/25 22:04

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Q反射律・対称律・推移律

お世話になります。数学大嫌い男です。
やや数学っぽい本を見ていたら、反射律・対称律・推移律というのが書いてありました。
しばらくいくと次の問題がありました。

問「対称律と推移律が成り立つとき、対称律によって a~b ならば b~a,したがって推移律によって a~a となって反射律が成り立つという論法は誤りであることを説明せよ」

答「問題の論法は関係のついている元aだけについて a~aを言ったにすぎない」

私にはチンプンカンプンです。
答も何を言っているのかわかりません。
だって本には簡単にしか書いてません。反射律・対称律・推移律の定義を私がよく分かっていないのかな?

どなたか分かる人がいらっしゃいましたら、お教えください。
数学嫌いの私でも分かるように、よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

あぁ, 確かにひっかかりますね....
この問題を理解するためにはもちろん「反射律」, 「対称律」, 「推移律」を理解しなければならないんですが, 根底には「数学における『ならば』の意味」というポイントがひそんでいます.
日常での「A ならば B」という表現では, 「A が成り立たないとき」は考えていません. しかし, 数学における「A ならば B」は, 「A が成り立っているときには B も成り立つ」, つまり「A が成り立っていないときには B が成り立つかどうかに関係なく『A ならば B』は成り立つ」と解釈します. この, 日常と数学における「ならば」の意味の違いをきちんと理解しなければなりません.
さて, その上で「どの要素も (自分自身を含めて) どの要素とも関係を持たない」という関係 (日常用語では「関係」とはいわないけど, 数学ではこれも「関係」とみなします) を考えてみましょう.
まず対称律: 「全ての a, b に対し a~b ならば b~a」について考えます. 今考えている関係では, どの要素に対しても a~b は成り立ちません. このことから「全ての a, b に対し a~b ならば b~a」は成り立ってしまいます. ということは, この関係は対称律を満たします.
次に推移律: 「全ての a, b, c に対し a~b かつ b~c ならば a~c」ですが, これも同じように考えると満たしていることがわかります.
最後に反射律: 「全ての a に対し a~a」ですが, これは明らかに成り立ちません.
結局, 対称律と推移律では「ならば」を使っているのに対し反射律では「ならば」が出てこないことが差異として現れています.

う~ん, わかりづらそうだ.... どこがわからないか書いてもらえれば, 詳しく説明するかもしれません.

あぁ, 確かにひっかかりますね....
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Q集合論>二項関係>反射律、対称律、推移律

タイトルのごとく、反射律、対称律、推移律の質問です。
集合A上の二項関係を~とする。

このときこの二項関係が対称律、推移律を満たせば
x、y∈Aとして、
「x~yかつy~x⇒x~x」
が成立する
故に、二項関係が対称律と推移律を持てば、反射律をもつと考えました。

しかし、大学のレポートで、「対称律と推移律はもつが、反射律をもたない二項関係をあげよ」という問題がでできました。
上記の僕の証明は間違っているのでしょうか?
どなたか知っている方、教えてもらえますか?

Aベストアンサー

No.2 は特殊すぎて面白くない?

では,整数全体において
m~n ⇔ mn>0

0~0 でないので反射律は成り立たない。

要するに,
∃y(a~y) ⇒ a~a
が,対称律,推移律からいえるので,
∃x∀y(x~y でない)
ような例を考えればよいのです。

No.2 は,∀x∀y(x~y でない) の例
上のは,∀y(0~y でない) の例です

Q反射律、対称律、推移律の例を挙げたい

反射律、対称律、推移律の下記例を挙げたいのですが、回答は正しいでしょうか。
(1)反射律であり、対称律でなく、推移律でない。
例){(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b)}
(2)対称律であり、反射律でなく、推移律でない。
例){(a,b),(b,a),(c,c),(d,d)}
(3)推移律であり、反射律でなく、対称律でない。
例){(a,b),(b,c),(a,c),(d,d)}

Aベストアンサー

「反射律であり」とかいうのは日本語として変. 「反射的」という.
(2) と (3) はいいけど (1) はダメじゃないか? 推移的な気がするぞ.
(b, c) でも追加してやったら?


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