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講義で、f(x)= 1/(a^2 + x^2) のフーリエ変換で、対称性を確認せよとのことで、問題提示がなされました。
ヒントとして、g(x)=exp{-a|x|} のフーリエ変換から、対称性を考慮すればよいとあるのですが、どうしても詰まってしまいました。

ちなみに g(x)=exp{-a|x|} のフーリエ変換は
G(ω)=F[g(x)]=a/π(a^2 + ω^2) という感じで、だいたいは答えに近づいている気がしています。(間違っていたら申し訳ありません。)

ここから、対称性 2πF[G(x)]=f(-ω)をつかい、どのように初めの与式のフーリエ変換を算出するか教えていただきたいです。

A 回答 (1件)

その問題提示にある「対称性」というのはどのような (あるいは何と何の) 対称性のことを指しているのですか?


また, 「対称性を確認せよ」という問題提示であるにもかかわらずヒントで「対称性を考慮すればよい」というのは腑に落ちません. 「対称性」が満たされるかどうか分からないから「確認する」のに対し「対称性を考慮する」というのは「対称性」を前提にしているように見えます.

この回答への補足

自分も、数学を専攻しているわけでないので、フーリエ展開の対称性がよくわかっていません。おそらく、ωとxの対称性ではなかろうかと思います。

また、後者については、単刀直入に言うならば、問題を解けという意味です。

補足日時:2009/11/19 16:52
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FFTとパワースペクトルの違いについて教えてください。
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Q偶関数のフーリエ変換

なぜ偶関数の場合はフーリエ変換すると虚数成分がなくなってしまう(複素数計算を必要としない)のですか?
詳しく解説してあるサイトなんかも教えてもらえるとうれしいです。

Aベストアンサー

こんにちわ。これはまず、f∈L^1(R^n)に対して、
f^{^}(ξ)=∫_{R^n} f(x)e^{-2πixξ} dx
とフーリエ変換が定義されます。
ここでは便宜上、f^{^}をfのフーリエ変換とします。
(普通はfの上に^が付きます。さらにL^1(R^n)はR^n上可積分関数の空間とします。)
いま、fが偶関数であることから
f(x)=f(-x)
が成り立ちます。そこで、
f^{^}(ξ)
=∫_{R^n} f(x)e^{-2πixξ} dx
=∫{0→∞} f(x)e^{-2πixξ} dx+∫{-∞→0} f(x)e^{-2πixξ} dx
=∫{0→∞} f(x)e^{-2πixξ} dx+∫{∞→0} f(-x)e^{-2πi(-x)ξ} (-dx)
(∵x=-xと置いて変数変換します。)
=∫{0→∞} f(x)*[e^{-2πixξ}+e^{2πixξ}] dx
(∵fが偶関数だからまとめられる。)
=2∫{0→∞} f(x)*cos(2πixξ) dx
(∵e^{±2πixξ}=cos(2πixξ)±i*sin(2πixξ))

以上から、虚数成分の計算は必要ないことが分かります。
またfが奇関数なら実数成分の計算が必要ありません。
それでは頑張って下さい。

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(普通はfの上に^が付きます。さらにL^1(R^n)はR^n上可積分関数の空間とします。)
いま、fが偶関数であることから
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が成り立ちます。そこで、
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(∵x=-xと置い...続きを読む

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半価層、実効エネルギー計測実験をしたのですが、わからないことがあります。
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※既に出ている質問
『質問:線形、非線型ってどういう意味ですか?』
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=285400
結局これを読んでもいまいちピンと来なかった...(--;


1.線形と非線形について教えてください。
2.何の為にそのような考え方(分け方)をするのか教えてください。


勝手なお願いですが、以下の点に留意いただけると大変うれしいです。
何せ数学はそんなに得意ではない人間+歳なので...(~~;

・わかりやすく教えてください。(小学生に説明するつもりぐらいだとありがたいです)
・例をあげてください。(こちらも小学生でもわかるような例をいただけると助かります)
・数式はなるべく少なくしてください。

『そんな条件じゃ説明できないよー』という方もいると思いますが、どうぞよろしくお願いいたしますm(__)m

Aベストアンサー

昨日「線形の方がなんとなくてわかりやすくないですか」と書いたんですが、やっぱり理系の人間らしく、もうちょっときちんと説明してみます。昨日は数式をなるべく出さないように説明しようとがんばったんですが、今日は少しだけ出しますが、勘弁してください。m(__)m(あと、長文も勘弁してください)


数学的にはちょっとここまで言えるかわかりませんが、自然界の法則としては、「線形」が重要な意味を持つのは、xの値が変化するにつれて変化するyがあったときに、

(yの増加量)/(xの増加量)=A(一定)

という規則が成り立つからです。

xやyの例としては昨日の例で言う例1だとxがガムの個数、yが全体の金額、例2だとxが時間、yが走った距離です。

この規則が何で役に立つかというと、式をちょっと変形すると、

(yの増加量)=A×(xの増加量)・・(1)

ということがわかります。つまり、Aの値さえわかれば、xが増えたときのyの値が容易に推測できるようになるわけです。


ここで「Aの値さえわかれば」と書いていますが、この意味を今から説明します。

自然界の法則を調べるためには何らかの実験を行います。例えば、りんごが木から落ちる運動の測定を行います。
ここから質問者様がイメージできるかわかりませんが、りんごは時間が経つにつれて(下に落ちるにつれて)落下するスピードが速くなるんです。今、実験として、1秒ごとにりんごのスピードを測定したとします。そしてその結果をグラフにプロットしていくと、直線になることがわかります。(ここがわかりにくいかもしれませんが、実際に実験を行うとそのようになるのです)

数学の問題のように初めから「時速100kmで走る」とか「1個100円のガム」とかいうことが与えられていれば直線になることはすぐにわかります。
しかし、自然界の法則はそうもうまくいきません。つまり、実験を行ってその結果をプロットした結果が直線状になっていたときに初めて「何らかの法則があるのではないか」ということがわかり、上で書いた「Aの値さえわかれば」の「A」の値がプロットが直線状になった結果、初めてわかるのです。

そして、プロットが直線状になっているということは、永遠にそうなることが予想されます。つまり、今現在はりんごが木から落ちたときしか実験できませんが、その結果を用いて、もしりんごが雲の上から落としたときに地面ではどのくらいのスピードになるかが推測できるようになるわけです。ここで、このことがなぜ推測できるようになるかというと、(1)で書いた関係式があるからです。このように「なんらかの法則があることが推測でき、それを用いて別の事象が予言できるようになる」ことが「線形」が重要だと考えられる理由です。

しかし、実際に飛行機に乗って雲の上からりんごを落としたらここで推測した値にはならないのです。スカイダイビングを想像するとわかると思いますが、最初はどんどんスピードが上がっていきますが、ある程度でスピードは変わらなくなります。(ずっとスピードが増え続けたら、たぶんあんなに空中で動く余裕はないでしょうか??)つまり、「線形から外れる」のです。

では、なぜスピードが変わらなくなるかというと、お分かりになると思いますが、空気抵抗があるからなんですね。(これが昨日「世の中そううまくはいかない」と書いた理由です)つまり、初めは「線形」かと思われたりんごを落とすという実験は実際には「非線形」なんです。非線形のときは(1)の関係式が成り立たないので、線形のときほど容易には現象の予測ができないことがわかると思います。


では、非線形だと、全てのことにおいて現象の予測が難しいのでしょうか?実はそうでもありません。例えば、logは非線形だということをNo.5さんが書かれていますが、「片対数グラフ」というちょっと特殊な形のグラフを用いるとlogや指数関数のグラフも直線になるんです。つまり、普通のグラフでプロットしたときに「非線形」になるため一見何の法則もないように見えがちな実験結果が「片対数グラフ」を用いると、プロット結果が「線形」になってlogや指数関数の性質を持つことが容易にわかり、それを用いて現象の予測を行うことが(もちろん単なる線形よりは難しいですが)できるようになるわけです。


これが私の「線形」「非線形」の理解です。つまり、

1) 線形の結果の場合は同様の他の事象の推測が容易
2) 非線形の場合は同様の他の事象の推測が困難
3) しかし、一見非線形に見えるものも特殊な見方をすると線形になることがあり、その場合は事象の推測が容易である

このことからいろいろな実験結果は「なるべく線形にならないか」ということを目標に頑張ります。しかし、実際には先ほどの空気抵抗の例のように、どうしても線形にはならない事象の方が世の中多いんです。(つまり、非線形のものが多いんです)

わかりやすいかどうかよくわかりませんが、これが「線形」「非線形」を分ける理由だと思っています。

やっぱり、「線形の方がなんとなくわかりやすい」くらいの理解の方がよかったですかね(^^;;

昨日「線形の方がなんとなくてわかりやすくないですか」と書いたんですが、やっぱり理系の人間らしく、もうちょっときちんと説明してみます。昨日は数式をなるべく出さないように説明しようとがんばったんですが、今日は少しだけ出しますが、勘弁してください。m(__)m(あと、長文も勘弁してください)


数学的にはちょっとここまで言えるかわかりませんが、自然界の法則としては、「線形」が重要な意味を持つのは、xの値が変化するにつれて変化するyがあったときに、

(yの増加量)/(xの増加量)=...続きを読む


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