FEM板曲げ問題の分布荷重に対する荷重項

有限要素法(FEM)で薄板曲げを扱う際、分布荷重に対する節点の荷重項（等価節点荷重)を求める公式あるいは参考文献はないでしょうか。梁に関してはいろいろな公式（両端固定、片側ピン等）があるのですが。

No.1 ベストアンサー 回答者： h191224 回答日時： 2010/01/09 00:14

どのようなことをしたいのでしょうか？

?．自作のプログラムで計算をしたいが、等価節点荷重の与え方がわからないということなのでしょうか？
それなら、有限要素法での分布荷重ｐ→等価節点荷重Ｆの変換の公式は、どの本にも載っていて、
[Ｎ]：変位関数マトリクス
{ｐ}：分布荷重ベクトル
{Ｆ}：等価節点荷重ベクトル
とすれば、
梁のような線荷重の場合には、
{Ｆ}＝∫[Ｎ]T{ｐ}ｄＬ
今のあなたの問題である面荷重の場合には、
{Ｆ}＝∫∫[Ｎ]T{ｐ}ｄＳ
重力や遠心力のような体積力の場合には、
{Ｆ}＝∫∫∫[Ｎ]T{ｐ}ｄＶ
で与えられます。

?．既成のプログラムを利用して、分布荷重の計算をしたい場合には、今どきのプログラムは分布荷重を与えれば、内部で自動的に等価節点荷重に変換する機能は持っているので、それを利用すれば良いのです。
ただし、分布荷重が一様でないような、複雑な分布形態の場合には、これに対応できるプログラムはほとんどありません。
この場合には、?の式を用いて、自分で変換しなければなりません。そのためには、そのプログラムで使用されている要素の変位関数を知らなければなりません。「言うは易し、行うは難し」です。

しかし、あなたの場合には、等価節点荷重に関する大きな思い違いがあるように思います。
その根拠は、「梁に関してはいろいろな公式（両端固定、片側ピン等）がある」という記述です。
?による等価節点荷重の計算結果は、要素の拘束状態には無関係になります。ですから、梁の場合、両端固定でも、片側ピンでも、結果は一緒なのです。
こう言われて「なんで？」と思われるようでは、等価節点荷重というものについての理解ができていないということであり、その状態で「等価節点荷重」を求めても、それは真の値ではありません。

等価節点荷重には、直感的に妥当な結果となるものはむしろ少なく、「なんでそうなんのよぉ？」と思われるような値になるものが多いので、要注意です。

直感的に妥当な結果となるものとしては、２次元の３角形１次要素やアイソパラメトリック４角形１次要素に、面内方向の重力をかけた場合には、各節点には、要素の重量の、それぞれ、1/3、1/4の荷重が作用します。
また、上記１次要素の辺に等分布荷重が作用する場合には、辺の両端の節点には、その分布荷重の合力の、それぞれ1/2ずつが作用します。

梁要素に等分布荷重が作用する場合には、梁の両端の節点には、その分布荷重の合力の、それぞれ1/2ずつが作用します。
ここまでは直感的に妥当なのですが、この他に、分布荷重なのに、節点にはモーメントが作用するという結果が得られます。
ほとんどの人が「なんでそうなんのよぉ？」と思うのですが、これは現在の主流となっている有限要素法が「変位法」という、変位を最も精度よく計算するアルゴリズムに立脚していることによります。

今のあなたの場合には、対象となる薄板曲げ要素の変位関数を調べ、それを標準形で表現して[Ｎ]マトリクス成分を求め、?の式に代入して、等価節点荷重を求めることになります。

以上を読んで、もしわからない概念や言葉があれば、それは知識不足であって、現段階で「等価節点荷重」を求めること自体が無謀ですので、まず有限要素法に関する本を読んで勉強しましょう。
有限要素法に関する本は、本屋に行けば、いろいろとありますので、立ち読みするには事欠きません。

この回答へのお礼

出張のため御礼が遅くなりすみません。ご丁寧なご回答、ありがとうございます。ただ、ご指摘の「等価節点荷重の計算結果は、要素の拘束状態には無関係になります」の点が未だに疑問です。例えばi端固定ーj端ピンの梁が単独で存在する場合、通常の梁要素でもj支点の境界条件で考慮できます。一方、j端がピンの状態で他の梁要素(k-l)の中間に接続する場合、kl梁のｊ点のモーメントがゼロでないため、ｊ支点の境界条件では考慮できません。この場合は、ij梁のｊ端のモーメントがゼロの条件からj端の回転角θjが従属変位になり、θjを消去することでij要素の剛性と等価節点荷重が求まりますが、それは通常の梁要素と異なるものになります。同様なことを板曲げ要素にも適用したところ、等価節点荷重についてうまくいかず、そこで梁の場合には公式集（いわゆる荷重項）があるので、板曲げについてもあれば利用したいというのが質問の趣旨です。

お礼日時：2010/01/18 17:08