位相空間論の問題です

Aをn次元ユークリッド空間(R^n,d(n))の開集合とし、
部分位相空間(A,O（A）)とするとき、次の(i)(ii)を示して下さい。

(i)Aの弧状連結成分は開集合であること
(ii)Aは連結ならば弧状連結であること

どなたか教えてください。よろしくお願いします。

No.2 回答者： muturajcp 回答日時： 2010/03/28 04:18

(i)Aの弧状連結成分の一つをUとおく。

x∈Uをとると、A　が　開集合だから　x∈B={y|d(x,y)<ε}⊂A　
となる x の十分小さな近傍 B　が存在する
B　は　弧状連結だから,B上の点は、xと連続曲線で結ぶことが出来る。
したがって　B⊂U　であり、U　は開集合。

(ii)Aから任意の点　xをとる。
x∈U　となるAの弧状連結成分を U　として
V=∪{V_λはU∩V=φとなるAの弧状連結成分}V_λ　とすると
U∩V=φ ,　U∪V=A　,　A=(A-U)∪(A-V)　,　(A-U)∩(A-V)=φ となる
(i)より　U　は開集合　V　は開集合の合併で開集合なので、A-U　と　A-V　は閉集合
x∈A-V≠φ　で　A　の連結性により、A-U=φ　となり　A=U　となるから
　A　は　弧状連結

No.1 回答者： euc107 回答日時： 2010/01/17 23:44

(ⅰ)Ａの弧状連結成分の一つをＵとおく。

ｘ∈Ｕをとると、ｘの十分小さな近傍Ｂ上の点は、ｘと連続曲線で結ぶことが出来る。したがってＢ⊂Ｕであり、Ｕは開集合。

(ⅱ)Ａから任意に2点、ｘ、ｙをとる。ｘとｙが連続曲線で結べることを示せばよい。ｘの弧状連結成分をＵ、ｙの弧状連結成分をＶとおくと、Ａ＝Ｕ∪Ｖとなることに注意する。(ⅰ)よりＵ、Ｖは開集合なので、Ａの連結性により、ＵまたはＶのいずれかは空集合でないといけない。これは矛盾である。したがってＡは弧状連結。

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます！！

とても助かりました！！

お礼日時：2010/01/18 00:15