何の気なしに使ってましたが、

何の気なしに使ってましたが、
定義から微分する方法を教えてください。

-問題-
y=a^x
定義に従い微分せよ。




-補足-
a=e^(ln(a))を使って合成関数の微分で求めるので
y=e^x
の場合でもOKです。
y'=ln(a)・a^x

No.3 ベストアンサー 回答者： banakona 回答日時： 2010/01/23 09:11

答えになっていないので、あくまで「参考意見」ということで。

指数関数の導関数を求める際に、定義に従うと、
　　｛ａ^（ｘ＋Δｘ）－ａ^ｘ｝／Δｘ＝ａ^ｘ｛ａ^Δｘ－１｝／Δｘ

（limΔｘ→０は省略）これにより、どうやら指数関数の導関数は、もとの関数ａ^ｘに
定数limΔｘ→０｛ａ^Δｘ－１｝／Δｘを掛けたものらしいと分かる。（収束するかどうかが問題だけど、指数関数の任意の接線の傾きは有限確定値だから収束するのは明らか？）

収束値はａに応じて変化する。ここで、｛ａ^Δｘ－１｝／ΔｘがΔｘ→０としたときに１に収束してくれると、「微分するとそれ自身になる」という超便利な関数になる。

１に収束するａの値を調べたら、ａ＝２．７１８２８・・・となった。
そこでこれをｅと置いた。つまり

　ｅ^xの導関数はｅ^x

これを土台にして、ａ^xの導関数を求める・・・と教科書に書いてあったような気がする。

※｛ａ^Δｘ－１｝／Δｘ（Δｘ→０）の値を求める際に、ｅの定義を用いるのは循環論法っぽいと思う・・・

No.7 回答者： stomachman 回答日時： 2010/01/23 19:57

　こういう基礎論は、どこまで遡るか、つまり、何を既知とし、何は未定義として扱うかをはっきりしないと、話がぐるぐるまわりになってしまいます。

本格的に厳密にやろうとすると、ZF公理系にまで遡らねばならない。そりゃあんまりなので、ホドホドでやってみましょう。

　まずは a^x って何なのか。正の実数aと有理数q=(m/n)について、
a^q
ならばはっきりしている。aのn乗根のm乗、ってことですね。これを連続関数として実数に拡張したのがa^xです。
　有理数Qは実数Rにおいて稠密なので、
∀q(q∈Q → f(q) = a^q)
を満たす、実数から実数への連続関数fがただひとつ存在します。それを
f(x) = a^x
と書く訳です。

さて、
[1] eを以下のようにして定義します。
●定理1：　a≠1, a＞0とする。x→0 のとき、
f(x) = ((a^x)-1)/x
は収束する。
証明：　0でない実数xから実数への関数 f(x)が単調増加であることは簡単に分かる。
(1) u = inf f(x) (xは正の実数）
が存在して、正の実数に取った数列 x[n]が0に収束するならば、f(x[n])→u である。
(2) v = sup f(y) (yは負の実数）
が存在して、負の実数に取った数列 y[n]が0に収束するならば、f(y[n])→v である。
　さて、{-y[n]}は正の実数の数列であって0に収束するのだから、f(-y[n])→uであり、
((a^y[n])-1)/y[n]=(a^y[n])((a^(-y[n]))-1)/(-y[n]) →u
ゆえに、
v=u
である。従って、
lim{x→0} f(x) = u
Q.E.D.

●系：lim{x→0}((a^x)-1)/x≠0である
f(x)が単調増加であることから自明。

●定理2：　a≠1, a＞0とする。aの関数
u(a) = lim{x→0}((a^x)-1)/x
について、a^(1/u(a))はaに依らない定数である。

定理2を証明すれば、すなわち、aをどう変えてもu(a)が変わらないことを示せば、
e = u(a)
と定義できます。

[2] eを上記のように定義すると
lim{Δx→0} ((e^(Δx))-1)/Δx =1
は自明であり、従って、
(e^x)' = lim{Δx→0}((e^(x+Δx))-(e^x))/Δx = e^x

[3] また e^x は実数から正の実数への関数なので、逆関数、すなわち正の実数から実数への関数が存在する。それをln(x)と定義すると、
正の実数xについて、x = e^(ln(x))
実数ｘについて、x = ln(e^x)

[4]　さて、正の実数aについて
a^x = (e^(ln(a)))^x = e^(x ln(a))
なので、合成関数の微分法を用いて
(a^x)' = (a^x)(x ln(a))' = (a^x) ln(a)

この回答へのお礼

ありがとうございました。
僕の質問の仕方が間違ってました。

本当はそもそも何故微分すると自分自身になる関数が「都合よく」発見されたんだろう
というところが疑問だったんです。

それでも、いの一番に回答いただいて感謝します。

お礼日時：2010/02/07 12:43

No.6 回答者： kabaokaba 回答日時： 2010/01/23 13:39

No.4です

あー，誤読してた．最後で逆関数使うのはNGだな．
指数・対数関数は定義されていて
連続性やら計算規則は証明されているという前提でいきませう．

eの定義まではすませたということでスタート
＃この定義そのものは対数関数の微分から導出したとはいえ
＃独立したものだから問題ない．

(e^h-1)/h -> 1 (h->0)
を示せばよい．
e^h-1 = tとおくと
h= log(1+t)
(e^h-1)/h
=
t/log(1+t)
=
1/((1/t)log(1+t))
=
1/log(1+t)^{1/t}
h->0のとき，t->0であるので
logの連続性より
(1+t)^{1/t} (t->0)
の極限がわかればよい．
t=1/sとおけば t->0のときs->∞，s->-∞であり
(1+t)^{1/t} = (1+(1/s))^s -> e
よって
(e^h-1)/h -> 1/log(e) = 1 (h->0)

したがって，
(e^{x+h}-e^x)/h
=
e^x ・ (e^h-1)/h
->
e^x (h->0)
つまり，(e^x)'=e^x

これで終わり

==============
非自然数に対する二項展開や
二重の極限やその順序交換はこうして排除できます．

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2010/02/07 12:44

No.5 回答者： htms42 回答日時： 2010/01/23 11:17

ご質問は

ｙ＝ｅ^(ｘ)のとき
ｄｙ／ｄｘ＝ｅ^(ｘ)
を定義に従って求めるという問題だと思います。
この微分がわかっていて
ｇ＝ａ^(ｘ)
の微分を求める問題ではないだろうと思います。

そうであれば
(ｌｎ(ｘ))'＝１／ｘ
を使うことはできません。
ｌｎ(ｘ)とｅ^(ｘ)は逆関数の関係にありますから片方の微分がわかっているとすれば他方は出てきます。定義に従って出すという内容ではなくなります。
ｅの定義式に戻る必要があります。

ｅ＝lim(ｎ→∞)（１＋１／ｎ)^(ｎ)
ｅ^x＝lim(ｎ→∞)(１＋１／ｎ)^(ｎｘ)
です。
ｄｅ^ｘ／ｄｘ＝lim(ｈ→０)lim(ｎ→∞)[(１＋１／ｎ)^(ｎ(ｘ＋ｈ))－(１＋１／ｘ)^(ｎｘ)]／ｈ
　＝lim(ｈ→０)lim(ｎ→∞)(１＋１／ｎ)^(ｎｘ)[(１＋１／ｎ)^(ｎｈ)－１]／ｈ
ｎが十分大きくて、ｎｈがそれほど大きくない場合は後ろの（　）は二項展開した最初の項だけで近似できます。
［（１＋１／ｎ)^(ｎｈ)－１］／ｈ～（１＋ｎｈ／ｎ)－１／ｈ＝１

ｄｅ^(ｘ)／ｄｘ＝lim(ｈ→０)lim(ｎ→∞)[(１＋１／ｎ)^(ｎｘ)
　＝lim(ｎ→∞)[(１＋１／ｎ)^(ｎｘ)
　＝ｅ^(ｘ)

こんなのでどうでしょう。
（整数冪以外の二項展開には微分を使っていると言われればそうかもしれないという返事しかできません。）

ロピタルの定理のロピタルはＲｏｐｉｔａｌではありません。
ｌ’Ｈｏｐｉｔａｌまたはｌ’Ｈｏｓｐｉｔａｌのようです。　
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%83%94% …







　

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2010/02/07 12:45

No.4 回答者： kabaokaba 回答日時： 2010/01/23 11:14

>※｛ａ^Δｘ－１｝／Δｘ（Δｘ→０）の値を求める際に、ｅの定義を用いるのは循環論法っぽいと思う・・・

こだわるんなら，そうですねえ・・・循環してそうですねえ．
log(x)の微分を使うのも同様に循環っぽい．
(e^h-1)/h -> 1 (h->0)を定義にするにしても
そもそもそーいう実数「e」の存在を示さないといけない．

昔の高校「微分積分」の教科書は
対数から微分を始めてましたな．

a>0(aは1ではない)として，
log_a(x)の導関数を考える．

(log_a(x+h)-log_a(x))/h
=
log_a( (x+h)/x )^{1/h}
=
log_a(1+(h/x))^{1/h}
ここで，h/x = 1/t とおくことで
=
log_a (1+(1/t))^{t/x}
=
(1/x) log_a (1+(1/t))^t

よって，極限 (1+(1/t))^t (t->∞，t->-∞)を考えればよい
＃h->0は置き換えで，t->∞またはt->-∞になることに注意
＃＃対数関数の連続性は認めることにする．

ここで，t=-sとおくと t->-∞はs->∞になり
(1+(1/t))^t = ( 1-(1/s) ) ^{-s}
=((s-1)/s)^{-s}
=(s/(s-1))^s
=( 1 + 1/(s-1) )^{s-1} (1 + 1/(s-1) )
よって，s->∞の極限は
( 1 + 1/(s-1) )^{s-1}のs->∞の極限，
つまり，(1+(1/t))^t (t->∞)の極限と一致する．

したがって，
(1+(1/t))^t (t->∞)
の極限さえ定まればよい．
この(1+(1/t))^t は
tに関して単調増加である（証明略）

この極限を考えるために，数列
(1+1/n)^n
の極限を考える．
これの極限の存在は省略
（二項展開，上に有界な単調列の収束性から示される）．
この数列の極限を e とおく．

さて，任意の実数 t に関して
ある自然数nが存在して
n<t<=n+1とでき，また単調増加性より
(1+(1/n))^n < (1+(1/t))^t <= (1+(1/(n+1))^{n+1}
であるので，実数t->∞のとき
(1+(1/t))^t -> e
である．

したがって，
log_a (x) の導関数は
1/x log_a(e)
= 1/(x log(a))
である．

ここで，a=eとすると
（e>2であることがeの存在の証明よりわかっている）
( log(x) )' = 1/x
である．

さて，微分法の一般論のうちの「逆関数の微分」より
微分可能な関数y=f(x)の逆関数が x=g(y)であるとき
dx/dy = 1 /(dy/dx)
であるので，y=log(x)の逆関数x=e^yに関しては
x' = dx/dy = 1/(dy/dx) = 1/(log(x))' = x
つまり
(e^y)'=e^y
文字を書き直して
(e^x)'=e^x

こういう流れがオーソドックスでしょう．
ほかにも流儀がありますなあ．

e^xを級数で定義してしまうと微分はすごく簡単．
＃代わりに級数の一般論を準備する必要がある
もっと直接的に
微分方程式 y'=y (y(0)=1) の解として y=e^x を定義する
なんてのもあり
＃代わりに線型一階常微分方程式の一般論の準備が必要

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2010/02/07 12:46

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2010/01/23 08:57

y'=lim(h→0)(a^(x+h)-a^x)/h

=(a^x)lim(h→0)(a^h-1)/h
set p=a^h
h=lnp/lna
h→0 means p→1

y'=(a^x)lna*lim(p→1)(p-1)/lnp

by Ropital's formula
lim(p→1)(p-1)/lnp=1

QED

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2010/02/07 12:46

No.1 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2010/01/23 08:55

　d(a^x)/dx

＝lim[h→0] {a^(x+h)-a^x}/h
＝a^x lim[h→0] (a^h-1)/h
＝a^x lim[h log(a)→0] [e^{h log(a)}-1]/{h log(a)} log(a)
＝log(a) a^x lim[h'→0] (e^h'-1)/h'　　　（∵　h'=h log(a)　）
＝log(a) a^x　×１　　　　　　　　　　　　（∵　lim[h→0] (e^h-1)/h＝１　（ネイピア数についてのオイラーの定義）　）　　　
＝log(a) a^x

参考URL：http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2010/02/07 12:47