関数f(x)が区間Ｉで連続であることと、一様連続であること、なにがどう

関数f(x)が区間Ｉで連続であることと、一様連続であること、なにがどう違うのでしょうか・・・？

そもそも一様連続ってなんなんでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： hopper0024 回答日時： 2010/06/12 12:37

言葉の通り、連続の度合いが「一様」かどうかの違いです。

おおざっぱな説明をすると、

　f(x)が連続であると言うことは、xの値を近づければ、関数の値がいくらでも近くなるということ。
　
　例えば関数の値の差を0.001まで近づけたいときに、ｘの値をどれだけ近づければよいか、ということが、ｘの場所によらずに一定の値で指示できるときは一様連続。

　どれだけｘの値を近づければよいか、が場所によっては一定の値で指示できないときが「一様でない」単なる連続です。

　具体的には、y=1／xを区間(0,1)で考えてみて下さい。一様連続ではありません。
連続ではありますが、関数の値の差を0.001まで近づけたいときに、どれだけｘを近づけないといけないかは、ｘが０に近づくと、どんどん狭まります。どこでも「これだけｘの値を近づけておけばOK」という上限を設定できないのです。

　こんな感じで如何ですか？

No.2 回答者： kabaokaba 回答日時： 2010/06/12 12:37

>なにがどう違うのでしょうか・・・？

定義が違う．
区間Iでの連続は
・一点で連続
をベースにして，区間Iのすべての点で連続であることを要請する．
この場合は，各点ごとでは連続であるが
点同士の関係は一切ない．

一様連続は，それよりも条件がきつくて
区間I全体での連続性を考慮するものの「一つ」
＃ほかにも，ヘルダー連続とか，リプシッツ連続ってものもある
＃これは関数解析とか（偏）微分方程式をやればでてくる基本的な概念

一様連続ってのは
任意のε>0に対して，あるδ>0が存在して
区間Iの任意の点x,yに対して
|x-y|<δであれば|f(x)-f(y)|<ε
ということ．
普通の連続と違うのは，一点aとかをとるんじゃなくって
区間内の十分近い点であれば，同じεに対して同じδをとることで
関数の値の変化が評価できるってこと．
当然，一様連続であれば連続になるのだ．

有名な例：
f(x) = 1/x は
1>a>0として(a,1)で一様連続
(0,1)では一様連続ではない
これを証明してみれば定義は理解できるかも．

まあ，あんまり「一様連続」だからどーこーという議論も多くはないのですが
概念「XX」に対して「一様XX」というのは，
みんな似たり寄ったりだし，中には「一様収束」みたいに
使い勝手のいいものも存在するので，理解しておいたほうがいいでしょう．

この回答へのお礼

だんだんイメージがつかめてきました。

各点ごとにδで押さえるのではなく、区間の任意の二点をδで押さえられると一様連続、ってことですよね？

うーん・・・でも一様連続だからといってなにかの恩恵にあずかれるのですかね？

お礼日時：2010/06/12 17:52

No.1 回答者： h_bopper2002 回答日時： 2010/06/12 12:26

＞関数f(x)が区間Ｉで連続であることと、一様連続であること、なにがどう違うのでしょうか・・・？

特定の区間の制約があれば、連続であることと一様連続であることは同じです。

＞そもそも一様連続ってなんなんでしょうか？

「一様連続」は関数全体の連続性について記述するときに使われます。「連続」は必ずしも関数全体のことを記述していません。