(1)
一辺10cmの正三角形の中に、10個の同じ半径の円が詰まっている。これらの10個の円の面積の総和について

図は、正三角形の中に円が10個あり、4段です。
一番下の段から4,3,2,1と並んでいます。

円の半径をrとするのはわかるのですが、
どのように求めるのかわかりません。


(2)
一辺が10cmの正方形の中に、同じ大きさの2つの円が接している。この円の半径はいくら

これも同じく、円の半径をrとしていきます。
しかし、どのように求めるのかわかりません。

お願いします
正方形の中の2つの円は左上と右下に1ずつならんでいます。

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A 回答 (2件)

boku115さん、こんにちは。


先程、一つ後ろの問題に回答させていただきましたが、
これも同様にして考えていけばいいですね。

(1)
一番下の段には、4つの円が接していますよね。
その一番左っかわの円の中心をP、中心から大きな正三角形の底辺BCに
おろした垂線の足をQとしましょう。

PQ=半径=rです。
∠PBQ=30°です←ここが、一つあとの問題でも使った考え方。

△PBQにおいて、
∠PBQ=30°、∠PQB=90°ですから
PB:PQ:BQ=2:1:√3
PQ=rとしましたから、BQ=√3rです。

さて、図を良く見てみると、一番したの段には、円が4つ。
一番左と右のはしは、√3rが2つ分。
その間には、半径が6つ分並んでいるので、

√3r+6r+√3r=正三角形の底辺=10センチ

2(√3+3)r=10
r=5/(3+√3)=5(3-√3)/6←分母を有利化しています。

ところで、円の10個分の面積は、
10×r×r×Π
ですから
10×r×r×Π=10×{5(3-√3)/6}^2×Π
=250(3-√3)^2Π/36
=250*6*(2-√3)Π/36
=125(2-√3)Π/3・・・(答え)

(2)
これも、上の問題と似ていますね。
図を描けば、
45°、45°、90°の直角3角形を使うことが分かると思います。

正方形をABCD
Aの近くに接している円の中心をO
OからABにおろした垂線の足をPとしましょう。
△OPAは45°、45°、90°の直角3角形ですね。

∠OAP=45°なので、
円の半径をrとすると、
OA:AP:OP=√2:1:1ですから、
OP=rとおいたので、AO=√2r

全体の図を見ると、斜辺のところに、√2rが二つ、
rが二つ分になっていますよね。

√2r+r+r+√2r=斜辺=√2×10cm
2(√2+1)r=√2*10
r=5√2/(√2+1)
r=5√2(√2-1)←分母を有利化しました。

のように求めることができます。
頑張ってくださいね。
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この回答へのお礼

いつもお世話になっています。
ありがとうございます

お礼日時:2003/07/11 19:13

こんにちは



(1)のみヒント
△ABCとします。
AB及びBCに接している円を考えます。(一番下の左端)
その円の中心をOとする。
頂点Bから中心Oに線を引きます。
中心Oから線分BCに垂直に降ろした線との交点をPとする。
BPの長さは?(△BOPは直角三角形、∠OBP=30°)
同じように、BCとCAに接している円の中心をQとすると
OQの長さは?(円は半径r)
QからBCに垂直に降ろした線との交点をSとすると
SCの長さは?
OP+OQ+SC=10(cm)から、半径rが求まりそうです。
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