妻がある問題集をやっていて、その問題に
「下記の記述において離散型データはどれか。選択肢より選びなさい」
という設問があり、妻にその意味を問われました。
webで検索してみたら統計学?確立分布?離散数学?の用語のようですが
工業高卒文系、数学が壊滅的で、統計学も学んだことのない私にはイマイチよく理解できません。
妻も頭を悩ませて問題集も止まったままのようです。
どなたか、わかりやすく教えていただけないでしょうか?
なお、著作権に関係する可能性から、設問自体も多少変え、
設問の選択肢まで書いてはまずいかなと思いとりあえず伏せます。

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A 回答 (3件)

身長を測った場合、


 身長そのものは、連続型。161、163、167cmと順番に並べられます。162cmのヒトも、161.5の人も161.22のヒトもいると想います。すなわち、数字を並べると、隙間なく埋めることができます。連続型です。数直線で描くと、大勢を限りなく測定すれば、隙間なく埋めることができます。

 身長が何番目か、で表示すると、1番目、2番目、・・・、と表します。1.5番目なんぞの中間のヒトはいません。161.5cmのヒトは1.5番目と感じるかもしれませんが、それはあとから勝手に継ぎ足しただけで、そのグループに入れば、2番目。以下順番が繰り下がるだけで、2.3番目なんぞはありえません。これが離散型。

 数直線にデータをマークしてみて下さい。マークでビッシリ、隙間がないようにできるのがのが連続型。1人目、2人目、・・・なんぞは、1.5とか5.8なんぞはありえないので、隙間ができる離散型。
 日付は、離散型。「今日は四月21.8日」なんぞは誰も言いません。月も、一月、二月、というと連続型に見えますが、以前は、睦月、如月、弥生、・・・で混乱はありませんでした。

  統計学では、データの型というのは大切です。この概念が分からず、なんでもかんでも平均を求める質問をみかけます。
 離散型でも、間隔尺度になっていればまだ救われます。が、アンケートの回答の順序尺度を平均する、なんぞの噴飯ものを目にします。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
1.5番目とか21.8日などはなるほどわかりやすいですね。
要するに、上記のように尺度などでありえない数字が出ないのが離散型ということですね。
何とかそれなら理解できます。

お礼日時:2011/04/22 23:12

碁石を適当につかんだときの「石の数」は、離散型の統計量です。


12個のすぐ上は13個であり、12.7個などということは起こりません。こういう統計量を「離散型」といいます。

コップに適当な量の水を入れたときの「水の量」は、連続型の統計量です。
120CCになることもあり、142.857・・・CCになることもあります。可能性は連続していて、途中の切れ目がありません。

離散型では「サイコロの目がちょうど5になる確率」という表現ができます。しかし、連続型では「弾丸が的の中心からちょうど10cm離れる確率」という表現はできません。連続型では「誤差が2cm~3cmの範囲にある確率」という表現しかできません。離散型の確率分布では、確率そのものを示しますが、連続型では、確率密度関数を積分して初めて確率が得られます。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
碁石とコップの水の例はわかりやすいですが、弾丸の例は少し難しいかな。。。
おぼろげに、なんとなくわかったので、
設問をよく読み返してみようと思います。

お礼日時:2011/04/22 23:17

例が無いので、的を射ているかわかりませんが。



気温を考えて見ましょう。これは連続したデータですが、
測候所では定時観測して値も丸めて記録していると思います。
この場合、時間的離散と数値的離散が起こっています。

序数詞も1,2,3,4、・・・で1.5なんか有りませんね。

アナログデータに対するデジタルデータが離散型といってもいいと思います。
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この回答へのお礼

ymmasayanさん、ご回答ありがとうございます。
ですが、まだよく理解できていません。
時間的離散と数値的離散?
例えを出されている気温でなら、こういうことですか?
気温は常に変化し観測され記録されています。この記録が連続型データで、
その気温データ(連続型データ)を平均値を出したりしたのが離散型データということでしょうか。
4月の平均気温とか。


例えば選挙。
出口調査で100人投票したことが判明。
このうちこの100人を年齢でカテゴライズしたのが連続型データ、
100人を男女別にして平均年齢を計算したのが離散型データ。

自分なりに今のところ以下のように理解しています。
違っていますでしょうか?

お礼日時:2011/04/21 17:45

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Q確率分布について

離散分布である幾何分布やポアソン分布は、各試行の実現確率が独立である(独立ベルヌーイ確率?)であることが仮定されていますが、有限の集団にたいして各試行をおこない選択された要素を除外していくといった場合に、幾何分布に対応するような確率分布が数学的に定義されていますか。
たとえばN人の集団から、ランダムに1人づつ除外していく場合に、k回目に初めて男性を除外する場合のような確率分布です。

Aベストアンサー

なんと、後半が意味分からない文章になってるので、さらに修正。すいません。

復元抽出では「負の二項分布」の特別な例が、「幾何分布」(1回成功するまでに必要な試行回数の分布)になります。
非復元抽出の「1回成功するまでに必要な試行回数の分布」に(復元抽出での幾何分布のように)特別な名前がついているかは知りません。

Q統計学(離散型確率変数)の問題文の意味

独学で数学を勉強しています。
問題が解けないというより、問題の意味が読み取れなくて困っています。問題の意味を解説していただけないでしょうか。

離散型確率変数X,Yの分布はP(X=xi)=pi(i=1,2),
P(Y=yj)=qj(j=1,2)である。
※ここまでは理解できてます。

P(X=xi,Y=yj)=rij(i,j=1,2)とするとき、
ri1+ri2=pi, r1j+r2j=qj(i,j=1,2)が成立することを示せ。

※バカな質問かもしれませんが、このときの"r"って相関係数のrとは違いますよね?
このri1,ri2,r1j,r2jというのが何を表しているのか理解できません。
どなたか、解説していただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

つまり、
P(X=x1)=p1
P(X=x2)=p2

P(Y=y1)=q1
P(Y=y2)=q2 である。

P(X=x1,Y=y1)=r11
P(X=x1,Y=y2)=r12
P(X=x2,Y=y1)=r21
P(X=x2,Y=y2)=r22 とするとき、

r11+r12=p1
r21+r22=p2
r11+r21=q1
r12+r22=q2 が成立することを示せ。

という意味です。i=1,2 は、i=1の時も、i=2の時も両方成り立つということです。

ちなみに、rは、p,qときたので続きの文字としてrとしただけでしょう。

Q確率分布

確率分布の連続と離散型のグラフを描け
という問題です。

離散型はサイコロとかなので分かるんですが、

連続の方がいまいち分かりません。
何か例も上げてもらいたいです。

Aベストアンサー

観測点における気温のように、ある区間に属する
すべての実数値を取り得る確率変数

Q数学の問題集に別解ある問題ありますが、その別解と本解の解きやすさの違い見て、解きやすい方を身につけて

数学の問題集に別解ある問題ありますが、その別解と本解の解きやすさの違い見て、解きやすい方を身につけていく方が良くないですか?ちなみに、数学3の場合の話です。記述型のみです。

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要するにどちらで説いてもいいんですよ。解く道筋が自分にとってつけやすい方で解いていけばいいです。ただ両方の道筋の付け方を理解することで、違う問題に対しても応用範囲が広がる可能性はあります。

Q検定・推定で使用する確率分布

検定・推定を行う際に、
確率分布を選択しますが、どうやって確率分布を選ぶのでしょうか。

参考書の問題をやると
普通にt分布とかカイ二乗分布等が指定されているのですが
どうしてその分布を選択したかが分かりません。

実務上、あるデータの集合があった場合、
どの確率分布を使用するかどうやって決めればよいのでしょうか?

Aベストアンサー

> 実務上、あるデータの集合があった場合、どの確率分布を使用するかどうやって決めればよいのでしょうか?

確率分布は現象のモデルなので、当人が「この分布で良い」と思えることが、まず必要です。そして実務上なのですから、さらにそれを他人に納得してもらう必要があります。これはやっかいな問題で、明確な答えは今も将来もありません。

たとえば一定時間内に到着する客の数にはポアソン分布をよく使います。それには理論的な根拠ももちろんありますけど、計算が簡単だから使うという側面も強く、反証があげやすいです。「ポアソンじゃなく集団到着だ」と言えば、多くの場合は集団到着の方が正確です。しかしそれにはまた反論があって、「ポアソンはパラメタが 1 つなのに、集団到着は 2 つだ。だから当てはまりが良いのは当然だ」というのも、正しいです。じゃあどっちが良いかは目的やデータによります。ポアソンなら単位時間あたりの客数を数えればすむのに、集団到着だと集団の数とそれらの大きさがいりますし。

また、たとえばねじの外径の測定値が正規分布すると言うと、それに反対する人はほとんどいないでしょう。しかし正規分布なら負の値を取る確率が正なのに、ねじの外径が負の値をとることはないので、その意味でモデルとしては不適切なことは、論理的には明らかです。それでも異を唱える人が少ないのは、

- 正規分布と思っても困ることはほとんどない、
- 正規分布とした前例が見つかる、
- 正規分布でないとした場合の標準的な手順がない、

など、消極的な理由の積重ねによります。

このように「こういう現象ならこの分布」という、いわば通念みたいなものが世の中にあって、それに合えば人に納得してもらいやすいわけです。通念がくせものですから、明確な答えはありません。新しい分析技術が流行すれば、その通念も変わります。だから昔はなかったのに、今はよく見る分布もたくさんあります。

> 実務上、あるデータの集合があった場合、どの確率分布を使用するかどうやって決めればよいのでしょうか?

確率分布は現象のモデルなので、当人が「この分布で良い」と思えることが、まず必要です。そして実務上なのですから、さらにそれを他人に納得してもらう必要があります。これはやっかいな問題で、明確な答えは今も将来もありません。

たとえば一定時間内に到着する客の数にはポアソン分布をよく使います。それには理論的な根拠ももちろんありますけど、計算が簡単だから使うという側面も強く、反証があげ...続きを読む

Q離散型確率変数

確率関数px(x)=P{X=x}=P{ω∈Ω:X(ω)=x}・・(1)
分布関数Fx(x)=P{-∞<X≦x}・・(2)
         =P{ω∈Ω:X(ω)∈(-∞、x)}・・(3)
         =Σpx(y)・・(4)
について説明しなければいけないんですが、、
確率関数・分布関数はそもそもなにをあらわしているんでしょうか?
(1)のP{X=x}のX=xは何がいいたいんでしょうか?
ω∈Ωはなんと読むんでしょうか?
(4)のyはどっからでてきたんですか?
この4つについて教えていただきたいんです
ω・・・標本点
Ω・・・標本空間
X・・・確率変数

Aベストアンサー

 まず、数式を日本語訳しましょう。


 最初の等式に出てくる二つの式は、まず特定の
事象xを実際に当てはめるまで意味を持ちません
・・・数式は大抵「意味を決定する方法」です。
日常語の意味と比べ数学のそれは抽象的過ぎます。

X=px(x):
 xは事象(イベント=出来事)の種類。
 px(x)は各事象xごとに決まった数値。
    函数(関数)は対応=変換
    ここでは色々な出来事xを
    0~1の定数値Xに変える。 
 この定数値Xは事象xを固定するまで変数で、
 だから『確率変数X』と命名されている。

P(X=x):(このXは明らかに≠確率変数X)
 Pは確率一般を表すのによく使われています。
 「こちらのX」は多分「実際に起きたこと」を
 指し、それが「特定の」事象xに分類された、
 という事態をX=xという式で表現して、それ
 に対する確率をp(X=x)と表す・・・?
・・・関数の変換後に対して使用した文字Xを、
勝手に関数の変換前と等式で結びうるシロモノに
使ってはいけないような気がしますね。
 確率変数は数値ですが、事象は数値で表現して
あるかどうかも決まっていないんですから。

 最初の等式の最後の式では、これら3つの式が
じつは「各」事象x「ごと」に確率変数Xを定義
したものだということを初めて説明しています。

P{ω∈Ω:X(ω)=x}:
 確率Pは事象xが、標本空間Ωに属する標本ωに
対して「いつも」定義されていて、それに関して
確率変数を定義していたのだという意味でしょう。
(「全ての」だと思うのですが書いてませんね)


 第2の等式ではあらかじめ定義された事象xも、
実際に起きる(た)事象=出来事Xも数値として
表現されています(普通数値以外に不等号などは
使わないと思います・・・抽象的な幾何学以外)

 マイナス無限大より大きい=小さい分には何も
気にしない(ことをはっきりさせます)、です。

 分布関数は数値に対応させた各事象xについて、
ある事象xとそれ以下の対応数値を持つ事象全て
をまとめたものに対して定義するもので、こんな
ことをするのは事象xが「連続する値の一部」で
あった場合、「特定の数値ちょうどそのもの」に
なる確率が普通0パーセントだからなんです。
(例:長さなどの測定値、三角形の面積など)
 これは不定積分に似たところがあり、実際には
例えば―ある一定の範囲内に測定値が納まる確率
を求めたい場合など―測定値の上限と下限に対応
する分布関数の差を求めることになります。
 最後の式は、「あてはまる各ケースについての
確率を始めから全部積み重ねていったものです」
ということを、特に離散的(連続的でない)事象
―例えばサイコロの出目―に関して読み替えたら
こうなるよ、というつもりで書き直したものです。


 最後になってしまいましたが、ω∈Ωはおそらく
「標本ωは標本空間Ωという名前の集合の要素=元
なんですよ」というちょっと曖昧な記述で、正確
な意味を取るには全称記号∀(全ての、任意の)
とか∃(存在する、ある)とかが欲しい所です。

 まず、数式を日本語訳しましょう。


 最初の等式に出てくる二つの式は、まず特定の
事象xを実際に当てはめるまで意味を持ちません
・・・数式は大抵「意味を決定する方法」です。
日常語の意味と比べ数学のそれは抽象的過ぎます。

X=px(x):
 xは事象(イベント=出来事)の種類。
 px(x)は各事象xごとに決まった数値。
    函数(関数)は対応=変換
    ここでは色々な出来事xを
    0~1の定数値Xに変える。 
 この定数値Xは事象xを固定するまで変数...続きを読む

Q数学C 確率分布の問題

問題
A、Bの2人がさいころを1個ずつ投げる。出た目の和が、偶数ならばそれをAの得点Xとし、奇数ならばそれをBの得点Yとする。なお、Aの得点時にはBは0点、Bの得点時にはAは0点とする。

Z=X-Y とするとき、Zの確率分布を求めよ

………………………………………………
という問題なんですが、これはX、Yそれぞれの確率分布を求めて解くべきでしょうか?

それとも「2個のさいころを同時に投げて、出る目の和」の確率分布を出して、いきなりZの確率分布を求めてしまっても良いのでしょうか?


また、X、Yそれぞれの確率分布はどのように求めれば良いのでしょうか?


説明が至らないところも多々ありますが、回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

いきなりZの確率分布を求めてしまったほうが手間が少ないと思いますが・・
さいの目と確率、Zの値はそれぞれ・・
11・・2/36=1/18(Y)Z=-11
 9・・4/36=1/ 9(Y)Z=-9
 7・・6/36=1/ 6(Y)Z=-7
 5・・4/36=1/ 9(Y)Z=-5
 3・・2/36=1/18(Y)Z=-3
 2・・1/36=1/36(X)Z=+2
 4・・3/36=1/12(X)Z=+4
 6・・5/36=5/36(X)Z=+6
 8・・5/36=5/36(X)Z=+8
10・・3/36=1/12(X)Z=+10
12・・1/36=1/36(X)Z=+12

Qこの問題の半径rと中心核αの扇型の重心の位置を求める問題がさっぱりです‥‥ 計算式となんでその式にな

この問題の半径rと中心核αの扇型の重心の位置を求める問題がさっぱりです‥‥
計算式となんでその式になったかも教えてください!

Aベストアンサー

これも前の質問と同様、任意の点の周りのモーメントを考えて、「微小部分の重量のモーメントの総和=全重量が重心位置にある場合のモーメント」で求めてみましょう。
 半径方向の変数を小文字の「r」で書き、扇型の半径を大文字の「R」で表わします。

 上下対称なのです、重心はθ=0 の線上、つまり x 軸上にあります。
 モーメントの総和は、まず「角度 θ の微小扇型」で求め、これをθで積分する順序でやってみましょう。

(1)まずは、微小扇型の微小部分のモーメントの総和
 ∫(x*ΔS)dx = x0 * S   (1)
を求めてみましょう。

微小扇型では、 r~r+dr の面積 ΔS は、周方向が rdθ、径方向が dr ですから
 ΔS = rdθ * dr
となります。よって(1)の左辺は、x=r*cos(θ) ですから
 ∫[r=0~R](r*cos(θ)*ΔS)dr
= ∫[r=0~R](r*cosθ*rdθ)dr
= (cosθ*dθ)∫[r=0~R](r^2)dr
= (cosθ*dθ)[ r^3 /3 ][r=0~R]
= (R^3 /3)*cosθ*dθ   (2)

(2)次に、扇型全体のモーメントの総和を求めます。

扇型全体のモーメントの総和は、(2)をθについて -a/2 ~ a/2 で積分して
 ∫[θ=-a/2 ~ a/2 ][ (R^3 /3) * cosθ ]dθ  (B)
= (R^3 /3) * [ sinθ ][θ=-a/2 ~ a/2 ]
= (R^3 /3) * 2sin(a/2)

(3)扇型全体の面積は、円の面積のうちの角度「 -a/2 ~ a/2 → a 」に相当する分で
 S = π * R^2 * a/2π
  = a*R^2 /2
なので(1)式のモーメントのつり合いは

 (R^3 /3) * 2sin(a/2) = x0 * a*R^2 /2

より

 x0 = (4R/3a) * sin(a/2)

 つまり、重心の座標は ( (4R/3a) * sin(a/2), 0) ということです。

これも前の質問と同様、任意の点の周りのモーメントを考えて、「微小部分の重量のモーメントの総和=全重量が重心位置にある場合のモーメント」で求めてみましょう。
 半径方向の変数を小文字の「r」で書き、扇型の半径を大文字の「R」で表わします。

 上下対称なのです、重心はθ=0 の線上、つまり x 軸上にあります。
 モーメントの総和は、まず「角度 θ の微小扇型」で求め、これをθで積分する順序でやってみましょう。

(1)まずは、微小扇型の微小部分のモーメントの総和
 ∫(x*ΔS)dx = x0 * S   (...続きを読む

Q確率分布の足し算、掛け算

確率分布の足し算、掛け算について教えてください。
例えば

|X |確率 |
-------------
| 0 | 0.5 |
| 1 | 0.5 |

という確率分布Aの、A+Aは

|X |確率 |
-------------
| 0 | 0.25 |
| 1 | 0.5 |
| 2 | 0.25 |

という確率分布になるという事であってますでしょうか。

どのような考え方でこの様な分布になるかが知りたいです。参考サイトもあれば助かります。

また、掛け算の場合どうなるでしょうか。

Aベストアンサー

「確率分布」などという難しいものを考えずに、「起こりうる事象」を書き出せばよいのです。

・1回だけなら、「0」か「1」かの2通りしか起こりません。
  (はじめ)→ 0 が出る
       → 1 が出る

・2回なら、(1)1回目は「0」か「1」かの2通り、(2)2回目も「0」か「1」かの2通り、で(1)と(2)の組合せになります。
  (はじめ)→ 0 が出る → 0 が出る
               → 1 が出る
       → 1 が出る → 0 が出る
               → 1 が出る
 この場合の数を数えれば、
  「(1回目)+(2回目)=0」すなわち「0、0」の組合せ:1通り
  「(1回目)+(2回目)=1」すなわち「0、1」の組合せ(順番は問わない):2通り
  「(1回目)+(2回目)=2」すなわち「1、1」の組合せ:1通り
ということになります。

 3回以上でも、掛け算でも、同じように「起こりうる事象」を書き出せば求まります。
 「公式」とか、「全てのケースを満足する便利な方法」ようなことを考えずに、まずは泥臭く「具体的にどうなるか」を考えた方がよいです。

「確率分布」などという難しいものを考えずに、「起こりうる事象」を書き出せばよいのです。

・1回だけなら、「0」か「1」かの2通りしか起こりません。
  (はじめ)→ 0 が出る
       → 1 が出る

・2回なら、(1)1回目は「0」か「1」かの2通り、(2)2回目も「0」か「1」かの2通り、で(1)と(2)の組合せになります。
  (はじめ)→ 0 が出る → 0 が出る
               → 1 が出る
       → 1 が出る → 0 が出る
             ...続きを読む

Q離散数学の問題

離散数学の問題

(書き方がよく分からないので、ちっちゃくしたに書く文字の前には _ をつけておきました)
自然数nは
n=p_1^e_1*p_2^e_2*...p_r^e_r (p_1<...<p_r,e_1,...,e_r≧0)
という形に素因数分解できるとする。
次の問いに答えよ。
nの全ての異なる正の約数の和をσ(n)とする。
例えばσ(8)=1+2+4+8=15です。
このときσ(n)=(p_1^e_1+1 -1)/(p_1-1) *(p_2^e_2+1 -1)/(p_2-1)*・・・(p_r^e_r+1 -1)/(p_r-1)
となることを示せ。
上の式で1文字ぶん空けてあるところが所々ありますが、これは指数部分の終わりを示しています。
証明をどのように進めていけばよいかわかりません。
分かる方、助けてください。

Aベストアンサー

こんにちは。

Tacosanさんフォローありがとうございます。時期柄なのか、レポートじみた質問が多いですね。
表現は大学っぽい感じですが、内容は高校数学で十分ですね。


さて本題ですが、ポイントは次のような点だと思います。
・先の別問でもコメントしているように、それぞれの約数が素因数の「組合せ」になっている点です。和を求めるといっても、まずはどのような数があるのかを把握しないといけませんね。
・もう1点は、証明すべき式が「等比数列の和」の形が並んでいる(かけ合わされてる)という点です。

素因数が 2種類しかなければ、行列のように書き下せますが、3つ以上になってくると難しいですね。

そこで、ある素因数だけに注目します。
ある kに対して、素因数 p_kの指数だけを0~e_kで変化させてみます。
このとき得られる約数は、
1個目:p_1^e_1* ・・・* p_k^0* ・・・* p_r*e_r
2個目:p_1^e_1* ・・・* p_k^1* ・・・* p_r*e_r
・・・・・
e_k+1個目:p_1^e_1* ・・・* p_k^e_k* ・・・* p_r*e_r

となります。これらの和が等比数列の和として計算できることは、すぐわかると思います。

当然、それぞれの p_iについても値をずらしていくことを考えると、問題の式を導出できます。
この観点で先の別問の 2^3* 3^3の様子も見てもらえば、イメージがわくかと思います。

こんにちは。

Tacosanさんフォローありがとうございます。時期柄なのか、レポートじみた質問が多いですね。
表現は大学っぽい感じですが、内容は高校数学で十分ですね。


さて本題ですが、ポイントは次のような点だと思います。
・先の別問でもコメントしているように、それぞれの約数が素因数の「組合せ」になっている点です。和を求めるといっても、まずはどのような数があるのかを把握しないといけませんね。
・もう1点は、証明すべき式が「等比数列の和」の形が並んでいる(かけ合わされてる)という点です...続きを読む


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