ロピタルの定理を使わずに極限を求めたい。

塾の講習で
lim x→0 log(x+1)/x　　を求める部分があり、
先生はまるで自明であるように「1」と答えを書きました。


ロピタルの定理を使えば1になったのですが、
大学入試では使ってはいけませんよね？
先生が普通にこれをかいたということは
普通に求めるやり方があると思うのですが、わかりません。
解説してください＞＜。

No.3 ベストアンサー 回答者： remonpakira 回答日時： 2011/06/26 22:53

オイラーが発見したネイピア数=eの定義は

limx→∞ (1＋1/x)^x=e

もしくは
limx→0 (1＋x)^1/x=e

これは定義なのでそのまま使って良いです。
(1＋1/x)^xに自分で電卓を使って計算するとだんだん数字を大きくするにつれて
2.718・・に近づいていきます。
これをeにしようと決めたので上の二つの極限は定義ですね。

で、今回の
limx→0 log(1＋x)/1/x

=limx→0 log(1＋x)^1/x

=loge
=1

まさに自明でまたよく使うのでこの極限は「基本の極限」として暗記しなければなりません。

先生は生徒が暗記していることを前提に授業を進めたように感じます。

東京書籍の教科書では定義を含めた今回の3つとさらにあと1つを加えた4つを
基本の極限として、logなどの極限を学ぶ一番最初に掲載しています。

疑問のすべてを人に聞いてしまうと記憶に残りません。

あと1つは心を鬼にして伏せておきますので
ご自分で探して、基本の極限4つを暗記されてください。

もちろん定義以外の2つは今回のようにもし忘れてもすぐに導けるように
理解して覚えてください。

ただ、受験本番で導いているようであれば合格は遠いので
基本的には暗記して体に刻み込むことが必要です。

応援しています。頑張ってくださいね

No.4 回答者： think2nd 回答日時： 2011/06/27 00:02

lim x→0(1+x)^(1/x)=eとなることはご存じてすか?　(eを定義するときに使う等式でもあります。

)
さて　左辺のlog(x+1)/xはlog(x+x)^(1/x)と変形できますから、x→0のときlog(1+x)^(1/x)→logeとなりますからloge=1に収束します。
limn→∞(1+1/n)^n=eの正しい証明は大学でやると思います。

No.2 回答者： tmpname 回答日時： 2011/06/26 22:46

No.1さんの通りに、eの定義にもっていくのも一つの手です。

しかし、「ロピタルの定理」を知っているならば、ここは
f(x)=log(x+1)とした時f(0)=log(1)=0ですから、

lim[x→0] {log(x+1)} / x
= lim[x→0] {f(x)-f(0)} / (x-0)

という風に書くと、与式はf(x)=log(x+1)のx=0における微分係数の定義
であることに気づけるはずだと思います。

No.1 回答者： girlkeeper 回答日時： 2011/06/26 21:57

log(x+1)/x=log(x+1)^(1/x)

で、真数部分が(x+1)^(1/x)
なのでｘ→０とすると、ｅになる。
logｅ＝１なので、
＞先生はまるで自明であるように「1」と答えを書きました。
というわけ。