待ち行列の平均滞留ジョブ数について

待ち行列の公式について質問です。

平均滞留ジョブ数は、処理中も含めて滞留しているジョブ数の平均値。
手持ちの参考書ではこう説明されています。


平均到着率（1件/秒）で、平均処理率（2件/秒）の時、利用率が0.5なので、平均滞留ジョブ数が1/(1-0.5)=2件なるのが、しっくりきません。公式を使えば問題は解けますが、1秒に2件処理出来るのだから、もっと少なそうだと感覚的に思ってしまいます。

この解になる理屈を教えて下さい。

No.1 ベストアンサー 回答者： jjon-com 回答日時： 2011/09/04 11:17

直接の回答ではありません，悪しからず。

今回のご質問は基本であるM/M/1モデルに関してだと思いますが，

> 平均到着率（1件/秒）で、平均処理率（2件/秒）の時

という前提から，
客が１秒ごとに「等間隔」で到着する，客は0.5秒で「等しく」処理される，というイメージを「感覚的に」描く人が多いですけれど，これではこのモデルは成り立たないですよね。

> （５）　客の到着の仕方がポアソン分布にしたがう。
> （６）　サービス時間の分布が指数分布にしたがう。
http://www.geocities.jp/daylife20040717/math/sw_ …
http://www.geocities.jp/daylife20040717/math/sw_ …

だから，ご指摘の待ち行列の公式が使えるわけです。
到着間隔が一定ではない，処理時間も一定ではない，だから滞留するのであって，
到着間隔と処理時間が一定で同期がとれているような単純なモデルではないわけです。

私自身がこの問題を解決できていないので，質問者に教えを請うてみたいのですが，
質問者は上記URLで解説されているような
到着間隔と処理時間のランダム性質を「感覚的に」どう描けばよいと思われますか。
私がこれを直感的にイメージで描くことができないので，
待ち行列の問題は公式の暗記で対応しているのですが。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。紹介して頂いたサイトをしばらく見ていたのですが・・・数学が苦手で理解出来ませんでした・・・すいません。ただ理解しても、直感的なイメージが持てなそうなイメージが残りました。

お礼日時：2011/09/06 01:46

No.2 回答者： vaguechat 回答日時： 2011/09/04 12:36

もし、

平均滞留数＝1/(1-利用率)

だとするとたとえ利用率が0であっても平均して1件滞留していることになります。
つまりどんな利用率であっても平均滞留数は1を下回らず明らかに誤りです。

平均滞留数＝利用率/(1-利用率)

です。
質問者が挙げた例なら利用率0.5で平均滞留数はちょうど1になります。
処理中かどうか五分五分なんだからもっと小さくなるんじゃないの？という感覚を持たれるかもしれませんが、
あくまでも平均的な性質を表した数値（到着率や処理率）から算出される
平均的な性質を表した結果（滞留数）なのでそんなものです。
平均滞留数が2になるのはさすがにおかしいと直感したのは正しい感覚だと思いますが。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。平均滞留数＝利用率/(1-利用率)でした。間違ってました・・・。
そんなものと言われてる部分の説明がほしかったので質問したのですが・・・。

お礼日時：2011/09/06 00:26