三次方程式記述について

こんにちわ。数学の宿題でつまってしまって困っています。


Ｘ＾３＋（a-4）Ｘー２a＝０が異なる３個の実数解をもつように、実数の定数aの値の範囲を求めよ

これを記述で欠点なく回答するにはどのような記述をすればいいのでしょうか？よろしければ早急にご回答いただけるとありがたいです。

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2011/10/21 04:53

>数学の宿題でつまってしまって困っています。

どこまでやったのか、途中計算を補足に書くように。どこで詰まったのかを
書くようにして下さい。
宿題なのでやり方だけにしておきます。

>これを記述で欠点なく回答するにはどのような記述をすればいいのでしょうか？
宿題の記述は自分で考えて下さい。
ポイントは必要十分条件を意識して不等式を解いてaの範囲を求めればいいでしょう。

３次方程式の左辺をf(x)とおくと
　f(x)=x^3+(a-4)x-2a

３次の係数が正の3次方程式f(x)=0が
異なる3個の実数階を持つための必十条件は

　(A)　f'(x)=0が異なる二実解α,β(α<βとする)を持つこと
　(B) 極大値f(α)＞0　かつ　極小値f(β)＜0　であること

です。

もう少し詳しく書くと

(A)から
　f'(x)=3x^2+a-4＞0　から　　a＜4　…(1)　
　このとき　異なる二実解α,β(α<β)を持つ。
　　α=-√((4-a)/3), β=√((4-a)/3)
(B)から　　
　極大値f(α)=(2/3)(4-a)√((4-a)/3)-2a＞0
　　　((4-a)/3)√((4-a)/3)＞a　…(2)
　かつ　
　極小値f(β)=-2((4-a)/3)√((4-a)/3)-2a＜0
　　　((4-a)/3)√((4-a)/3)＞-a　…(3)
(1),(2),(3)を同時に満たすaの範囲を求めればいいでしょう。

　0＜a＜4 の時とa≦0 の時に場合分けして解くと
「a＜-8,-8＜a＜1」が求まります。

No.3 回答者： spring135 回答日時： 2011/10/20 23:02

Ｘ＾３＋（a-4）Ｘー２a＝０(1)

因数分解して
(x-2)(x^2+2x+a)=0

よって(1)が異なる3実根を持つためには

2次方程式

x^2+2x+a＝0　　(2)

がx≠2なる2実根を持てばよい。

(2)の判別式

D=4-4a≧0,
a≦1 (3)

x≠2のために

a≠-8　(4)

(3)、(4)を合わせたものが答え

No.2 回答者： noname#152422 回答日時： 2011/10/20 22:43

> これを記述で欠点なく

というなら、まずあなたの回答を書くべきでしょう。

それを書いて、減点材料がないか質問するべきです。

そうしないと身につきませんよ。

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2011/10/20 22:42

与えられた方程式が三つの異なる実数解をもつということは、ｙ＝Ｘ＾３＋（a-4）Ｘー２aのグラフがｘ軸と三回交わるということです。

ｙの値は負⇒ゼロ⇒正⇒ゼロ⇒負⇒ゼロ⇒正と変化します。このときグラフの傾きは正⇒ゼロ⇒負⇒ゼロ⇒正となるはずです。グラフの傾きがゼロになるようなｘの値が二つ存在して、これらをｐおよびｑ（ｐ＜ｑ）とすると、ｘ＝ｐのときのｙの値は正、ｘ＝ｑのときのｙの値は負でなければなりません。実際に三次関数のグラフをいろいろ書いて考えてみて下さい。