ある数を5進法で示しても、7進法で示しても4ケタであった。この数を3進法で示すと何ケタになるか。

もう、全然わかりません。2進法までは理解しているつもりなのですが…。お願いします!

A 回答 (3件)

#------


 ある数Aの、n進法における整数部の桁数mとの関係は
  n^(m-1) ≦ A < n^m
と表せます。
(「a^b」は「aのb乗」を表します。)

 また、Aをs進法で表したときの整数部の桁数は
  [log(s,A)] + 1
と表せます。
(「[a]」は「aを超えない最大の整数」を表します。
 また「log(a,M)」は、「aを底とするMの対数」を表します。
 ちなみに「log(a,M)=X」は「a^X=M」と置き換えることが出来ます。)
#------

 これをこの問題に当てはめると、
  5^3 ≦ A < 5^4
  7^3 ≦ A < 7^4
となり、更に「5^3 < 7^3」、「5^4 < 7^4」なので、Aの範囲は
  7^3 ≦ A < 5^4
となります。

 Aを3進数で表した場合の桁数が知りたいので、3を底とするログを取ります。
  [log(3,7^3)]+1 ≦ [log(3,A)]+1 < [log(3,5^4)]+1  …(1)
(「+1」は全ての項に含まれるので、ここで消去します。)

 ログは計算すると大変なのですが、ここでは整数部しか見ないので、3の累乗を書き出して、7^3と5^4がどこに当てはまるかを探せばよいことになります。

  log(3,9)=2 , log(3,27)=3 , log(3,81)=4 , log(3,243)=5 , log(3,729)=6 , …

 7^3=343 , 5^4=625なので、(1)の式は
  5 < log(3,343) ≦ log(3,A) < log(3,625) < 6
となります。
 したがって答えは6桁です。紙に書いたのと違うから、ちょっと伝わりにくいかな…。とにかく「n進法」「桁数」ときたら、対数です。
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2進法というのは0と1の2つの数字を使って様々な数値を表現していきますよね。

ちなみに普段我々が使っているのが10進法です。これは0~9までの10個の数字を使っていきます。当然5進法は0~4までの5個の数字を使い、7進法は0~6までの7個の数字を使っていきます。

さて、4桁で表すことのできる5進法は1000~4444までです。7進法は1000~6666までです。そこで、このまま5進法や7進法のままでは考えにくいので、一度これを10進法に直します。10進法において、下1桁から順に1の位、10の位、100の位、1000の位…と位が10倍ずつ上がっていくように、5進法では5倍ずつ、7進法では7倍ずつ上がっていきます。したがって、5進法は下1桁から順に1の位、5の位、25の位、125の位…となり、7進法では1の位、7の位、49の位、343の位…となります。

次に、10進法で1234という4桁の数は1の位が4、10の位が3、100の位が2、1000の位が1となっています。したがって、1234=1×4+10×3+100×2+1000×1という形で表すこともできます。
当たり前のようですが、これがn進法を10進法に直すための考え方です。

では実際に、10進法に直してみましょう。5進法の1000は1の位が0、5の位が0、25の位が0、125の位が1ですから、1×0+5×0+25×0+125×1=125となり、これが10進法に直した値となります。同様に、4444は1×4+5×4+25×4+125×4=624となります。よって、4桁の5進法で表すことのできる数値の範囲は10進法で125~624ということが分かります。
同じように7進法においても調べてみると343~2400の範囲であると分かります。これらのことにより、「ある数を5進法で示しても、7進法で示しても4ケタであった」というのは10進法で343~624の範囲のことだと分かるわけです。

では今度は、これらを3進法に直してみて、いったい何桁の数になるのかを調べてみましょう。普通、10進法をn進法に直す場合、割り算の発想を使いその余りに注目して求めます。例えば、10進法の343を3進法に直す場合は
343÷3=114…1
114÷3= 38…0
38÷3= 12…2
12÷3= 4…0
4÷3= 1…1
と行い、最後の計算の商も含めて下から上に読みます。→110201
これが10進法の343を3進法に直した値となります。
同様に10進法の624を3進法に直すと212010となります。
これらのことにより、「この数を3進法で示すと」というのは110201~212010のことだと分かります。

以上のことにより、「何ケタになるか」という問いにたいして6桁というのが正解です。
いかがでしょうか?もし、分かりにくいようであれば、補足するので言ってください。
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この回答へのお礼

ありがとうございました!
大変よ~くわかりました。
また教えてください。
勉強がんばりまっす!(^_^)Ω

お礼日時:2001/05/08 16:55

計算違いがあるかもしれないのでご自分で確認を!



・5進法で、4桁ということは、125から624の間、
・7進法で、4桁ということは、343から2400の間、

従って、343から624までの間の数になります。

3^6=729
3^5=243

ですから、
・3進法で、6桁なら、243から728までで、343から624までという範囲を含みます。
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例題1
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>n進法→m進法への変換をダイレクトに行なえ、効率的でわかりやすい方法はありますでしょうか。
一般的には良い方法ありません。
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3進法-9進法
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ですから、
計算機のソフトや情報処理を扱う技術者の間では
2進法-8進法,2進法-16進法
が良く使われてきたし、
また2進法と10進法の変換を見かけ上で行う2進化10進法やV4のIPアドレス(32ビットの2進数)をドット区切り10進数の4組で表すことが行われたりしているわけです。

これらは一般的にn進法の変換が簡単にいかないために変換しやすい変換だけあつかったり、見かけ上2進数を10進数との関連付ける便法が採用されているわけです。
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ヒント
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最小は(000)3=0ですから何個か分かりますね?

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10進数、2進数に限らず、n-進数(n≧2の自然数)の意味(定義)をしっかり理解すれば、どんな変換でもできるようになるでしょう。
ただし単純な公式ということではなく、幾つかのステップを踏む計算法が作れる、ということになります。

ここから、「3の5乗」を「3^5」のように書くことにして……
例えば2進数から8進数の例を考えて見ましょう。
100101(2)を8進数で表すとどうなるか。
6桁の2進数ですから
100101(2)
= 1×2^5
+ 0×2^4
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+ 1×2^2
+ 0×2^1
+ 1×2^0
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となります。

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ここから、「3の5乗」を「3^5」のように書くことにして……
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6桁の2進数ですから
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Aベストアンサー

ABCD+EF=GHIJ とすれば、
B=9
H=0
A+1=G

また、各桁の偶奇を調べると、
偶+偶=偶、偶+奇=奇、奇+奇=偶
なので、繰り上がりを考えないと、奇数の数は偶数個でなければなりません。
0~9のうち奇数は5個なので、繰り上がりしている桁は奇数個あることになります。
2桁目、3桁目は繰り上がりしているので、1桁目も繰り上がりしています。

以上のことを踏まえて、
CとE、DとFは交換しても和は同じなので、C>E、D>Fとして、
2桁目の組み合わせを調べると、
A92D+8F=G01J (3,4,5,6,7)
A93D+7F=G01J (2,4,5,6,8)
A93D+8F=G02J (1,4,5,6,7)
A94D+6F=G01J (2,3,5,7,8)
A94D+7F=G02J (1,3,5,6,8)
A94D+8F=G03J (1,2,5,6,7)
A95D+6F=G02J (1,3,4,7,8)
A95D+7F=G03J (1,2,4,6,8)
A95D+8F=G04J (1,2,3,6,7)
A96D+7F=G04J (1,2,3,5,8)
A96D+8F=G05J (1,2,3,4,7)
A97D+8F=G06J (1,2,3,4,5)
の12通り。(括弧内は残りの数字)

さらにそれぞれの組み合わせを調べると、

4926+87=5013
5934+78=6012
5934+87=6021
2947+68=3015
5943+78=6021
1956+78=2034
1956+87=2043
1965+78=2043
2964+87=3051
の9通り。

1桁目、2桁目を交換したものも加えると、合計36通りとなります。

ABCD+EF=GHIJ とすれば、
B=9
H=0
A+1=G

また、各桁の偶奇を調べると、
偶+偶=偶、偶+奇=奇、奇+奇=偶
なので、繰り上がりを考えないと、奇数の数は偶数個でなければなりません。
0~9のうち奇数は5個なので、繰り上がりしている桁は奇数個あることになります。
2桁目、3桁目は繰り上がりしているので、1桁目も繰り上がりしています。

以上のことを踏まえて、
CとE、DとFは交換しても和は同じなので、C>E、D>Fとして、
2桁目の組み合わせを調べると、
A92D+8F=G01J (3,4,5,6,7)
A93D+7F=G01J...続きを読む

Q初級公務員・数的推理の問題(N進法)です。

初級公務員・数的推理の問題(N進法)です。

Q.自然数Nを9進法で表すとabc(9)、7進法で表すとcba(7)となる。この自然数Nを10進法で表すと、各位の数字の和はいくつか?
(答え・14)

解説によれば、

abc(9)=81+9b+c
cba(7)49c+7b+aより

81+9b+c=49c+7b+a
80a+2b=48c
40a+b=24c
∴b=24c-40a=8(3c-5a)
a,cは1から6の自然数、bは0から6の整数であることから、上式を満たすa,b,cの値はa=3,b=0,c=5のみ
(計算省略)
・・・N=248と決まる。各位の数の和は14となる。

とあるのですが、「a,cは1から6の自然数、bは0から6の整数」とあるのはなぜでしょうか?
これがどこから出てきたのかわかりません。

よろしくお願いします。失礼ながら、時間がないので、失礼ながらお礼はポイントのみとさせていだだきます。

Aベストアンサー

こんにちわ。

>「a,cは1から6の自然数、bは0から6の整数」とあるのはなぜでしょうか?
>これがどこから出てきたのかわかりません。
10進法であれば、各ケタに現れる数は 0~9となります。
(「10」となったときには、ケタが進むので 10進法といいます。)
同じように考えれば、
9進法であれば、ケタに現れる数は 0~8
7進法であれば、ケタに現れる数は 0~6

となります。
まず、この時点で a, b, cは 0~6の値をとることになります。
(7進法で表せないといけないため)

そして、aと cは先頭のケタになるとあるので、0にはなりません。

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Aベストアンサー

・・・というよりは、白人が外国語を話していたら、「英語」ときめつけてしまう
風潮がある、ということでしょう。本当はフランス語やドイツ語かもしらないのに。
あるいは、白人が道にまよっていて親切心がある人がつい「英語」で話しかけて
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Aベストアンサー

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 なお有理数であっても「循環小数(これは有理数です)になるか、それとも有限桁で書けるか」を区別するという話だと、10進法と16進法とでは一致しません。(出題者は循環小数と無理数をごっちゃにしているのかもね。)

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