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No.1ベストアンサー
- 回答日時:
質問文には特に何も書いていないが、「poiseuilleの流れ」であろうと思う。
(そのように仮定して考える・・・!)
内径b、外形aの円管断面の場合にこの円管内を定常状態で流れる場合の微分方程式を円柱座標により書くと(質問文の仮定を踏まえて・・・)
1/r・d/dr{(r・du/dr)} =-1/η・dp/dx =-1/η・Δp/L (1と見まごうのでlをLで書く!)
よって
d^2u/dr^2+1/r・du/dr =-1/η・Δp/L・・・(1)
(1)を解くと
u =-Δp/4ηL・r^2+C1・logr+C2
r = a , r = bのときu = 0であることからC1を求めると
C1 = Δp・(a^2-b^2)/(4ηL・log(a/b))
またu = 0のときはC1・logr+C2 = Δp/4ηL・r^2・・・(2)
である。
よって、この円管を通って単位時間に流れる流量をQとすれば
Q = 2π∫[b→a]{ur}dr
= 2π∫[b→a]{(-Δp/4ηL・r^2+C1・logr+C2)・r}dr
= 2π∫[b→a]{-Δp/4ηL・r^3+C1・rlogr+C2・r}dr
= 2π[-Δp/16ηL・r^4+(C1・r^2・logr)/2-(C1・r^2)/4+(C2・r^2)/2]|u=b→a
= 2π[-Δp/16ηL・r^4-(C1・r^2)/4+r^2/2・(C1・logr+C2)]|u=b→a
= 2π[Δp/16ηL・r^4-(C1・r^2)/4]|u=b→a (∵(2)から)
= 2π[Δp/16ηL・(a^4-b^4)-Δp・(a^2-b^2)^2/(16ηL・log(a/b))]
= (πΔp/8ηL)・(a^4-b^4-(a^2-b^2)^2/log(a/b))
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