x=logxの解

xを実数とした場合、
x=log(x)は、解なしですが、
複素数まで拡張すると、
z=log(z)の解は求まりますか?
対数を外すと、
z=e^z
z=exp(z)
を満たすzです。
複素数まで拡張す ると、
cos(z)=3
も解けますね。
z=2nπ-ilog(3±2√2)
です。
このように上記の問題も解けませんか?

ランベルトのW関数を使ってW(-1)を求めればいいことは気づきました。WolframAlphaで計算させるとW(-1)≒-0.318+1.337iとなるんですが、この計算過程を知りたいんです。

No.2 ベストアンサー 回答者： 178-tall 回答日時： 2013/04/02 15:31

たぶんきれいに書けない？

スプレッドシートでの z = LN(z) の収束先は？

(1) z = LN(z) にて、
　z = x+iy
　LN(z) = (1/2)*LN(x^2+y^2) + i*arctan(y/x) = u+iv
として、zo = xo+iyo にて LN(zo) = uo+ivo を求める。
次いで、zo' = uo+ivo として LN(zo') = uo'+ivo' を求める。
…という代入を繰り返していくと、
　z" = LN(z")
へ収束。
　z" ≒ 0.3181 ± 1.3372*i
ということ。

(1) z = LN(z) にて、
　z = r*exp(iθ)
　LN(z) = √{ (LN(R))^2 + θ^2 } * exp{arctan(θ/LN(R)) } = R*exp(iφ)
として、(1) と同様の代入を繰り返していく。
収束先は、
　1.3746 * exp(i*1.3372) ≒ 0.3181 ± 1.3372*i

　　　

No.1 回答者： 178-tall 回答日時： 2013/03/31 22:32

「ランベルトの W 関数」となると、初等関数できれいに書けそうもない模様ですネ。

ひとまず、スプレッドシートで z = LN(z) の不動点収束( fix point iteration ) を試みると、
　0.3181 ± 1.3372*i
へ収束。

(複素数の arg の吟味は不十分。チェックしてみて…)