lim[n→∞](3n-1)=+∞を示したい

lim[n→∞](3n-1)=+∞を示し（証明し）たいのですが、どのようにすればよいのでしょうか？
回答お願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： lazydog1 回答日時： 2013/04/25 07:33

　ざっとしたやり方の方針の一例は以下の感じでしょうか。

　ある有限の自然数Mがあり、自然数nについて、lim[n→+∞](3n-1)=Mであると仮定する。

　どんな有限のnについても、3(n+1)-1=3n+3-1=(3n-1)+3>3n-1であるから、nの単調な増加に対し、3n-1も必ず単調に増加する。

　n=1のとき、3n-1=2であるから、n>0の任意の自然数について、3n-1>0, M>1は明らかに成り立つ。

　従って、どんな有限のnについても、3n-1<Mが成り立ち、n<(M+1)/3<Mである（(M+1)/3-M=M/3+1/3-M=2M/3-1/3>0は、M>1であるから成り立つ）。よって、n<Mである。

　ところで、nは自然数であるから、自然数Mに対して、n=M+1とすることができるが、これはn<Mであることと矛盾する（n<Mならば、M+1<Mとなり、1<0となるから）。

　ゆえに、有限の自然数Mをどのように取っても、3n-1>Mとなる有限の自然数nが存在してしまい、lim[n→+∞](3n-1)=Mという仮定と矛盾する。

　したがって、どんな自然数Mをもってしても、lim[n→+∞](3n-1)>M（>1）であり、lim[M→+∞]M=+∞であるから、lim[n→+∞](3n-1)=+∞となる。

No.3 回答者： sunflower-san 回答日時： 2013/04/25 05:59

lim[n→∞](3n-1)=+∞ の定義(数学的な意味)に立ち返ってみれば、

「nを十分大きく取れば(3n-1)がどんな実数Nよりも大きくなる」ということに他なりません。

そこで、(大きな)正の実数Nを一つ固定しましょう。
このとき n > (N+1)/3 と取れば (3n-1) > Nです。従って、どんな大きな実数をとっても、nを十分に大きく取れば(3n-1)はそれよりも大きくなることが言え、lim[n→∞](3n-1)=+∞ が証明出来ました。

No.2 回答者： birth11 回答日時： 2013/04/25 02:02

自明ではないでしょうか。

lim［n→∞] n*(3n-1)/n
=lim［n→∞］n*(3-1/n)
=lim [n→∞] n*(3-0)
=lim [n→∞] 3*n
=+∞
無理矢理証明すればこのようになるかな？
間違ってたらご指摘をお願いします。

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2013/04/25 01:22

3n-1 ≧ n が成立することから、

lim[n→+∞](3n-1) ≧ lim[n→+∞]n = +∞.
(ハサミウチの原理)