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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
ほかの方からの回答がないので見当はずれかもしれませんが回答します。
a(n+1)=1+1/a(n) (1)
a(1)=1 (2)
このような問題には定石があって、後述のように問題なく解けます。
>{a2n+1},{a2n} がそれぞれ収束することを示し、{an}の極限値を求めよ。
これがよくわかりません。
(1)の極限値がpであるとするとn→∞ではa(n+1)=1/a(n)=pとなるので
p=1+1/p (3)
これを解くと
p=(1±√5)/2
p1=(1-√5)/2, p2=(1+√5)/2 (4)
とする。
p1=1+1/p1 (5)
p2=1+1/p2 (6)
(1)-(5)、(1)-(6)を実行すると
a(n+1)-p1=1/a(n)-1/p1=-(a(n)-p1)/(p1*a(n)) (7)
a(n+1)-p2=1/a(n)-1/p2=-(a(n)-p2)/(p2*a(n)) (8)
(7)/(8)を作ると
[a(n+1)-p1]/[a(n+1)-p2]=(p2/p1)[a(n)-p1]/[a(n)-p2]
=(p2/p1)^n[a(1)-p1]/[a(1)-p2]
=q (9)
とおいてa(n+1)を計算すると
a(n+1)=(p1-qp2)/(1-q) (10)
(2)より
a(1)=1,(4)を代入してqを計算すると
q=[(1+√5)/(1-√5)]^(n+1)
(10)より
a(n+1)=(p1-qp2)/(1-q)=(p2-p1/q)/(1-1/q)
このようにしたのは|q|>1であるので|1/q|<1にしてn→∞のとき|1/q|→0を狙ったためである。
a(n+1)={(1+√5)/2-(1-√5)/2)*[(1+√5)/(1-√5)]^(n+1)}/{1-[(1+√5)/(1-√5)]^(n+1)}
a(n)={(1+√5)/2-(1-√5)/2)*[(1+√5)/(1-√5)]^n}/{1-[(1+√5)/(1-√5)]^n}
lim[n→∞]a(n)=(1+√5)/2
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