解析 質問があります

Σ[n=1,∞]a_nが絶対収束するとき、Σ[n=1,∞]a_nが収束することを示せ。

絶対収束の定義から収束の定義に当てはまるようにすればいいと思うのですが、記述が怖いので回答していただけると助かります。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/03 05:31

Σ_{n=1～∞}a_nが絶対収束するとする

S_n=Σ_{k=1～n}|a_k|
とすると
{S_n}は収束するからコーシー列
だから
任意のε>0に対して
ある自然数n_0が存在して
m>n>n_0となる任意の自然数m,nに対して
|S_m-S_n|=Σ_{k=n+1～m}|a_k|<ε

s_n=Σ_{k=1～n}a_k
とすると
m>n>n_0
となる任意の自然数m,nに対して
|s_m-s_n|
=|Σ_{k=n+1～m}a_k|
≦Σ_{k=n+1～m}|a_k|
=|S_m-S_n|
<ε
だから
{s_n}も実数のコーシー列だから
s_n=Σ_{k=1～n}a_kは収束するから
∴
Σ_{n=1～∞}a_nが収束する

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2024/02/04 11:28

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2024/02/03 16:27

Σ[n=1,∞]a_nが実数項級数ならば以下のようにしてもよい：

a_n≦|a_n|、－a_n≦|a_n|　だから
0≦|a_n|－a_n≦2|a_n|ゆえ
正項級数
Σ[n=1,∞]（|a_n|－a_n)は収束する。
ゆえに
Σ[n=1,∞]a_n＝Σ[n=1,∞]|a_n|－Σ[n=1,∞]（|a_n|－a_n）
は収束する。