主成分分析の途中式の展開について

主成分分析の途中式の展開について

下付は_で示します。例）xの1番目は、x_1
uの平均はuバーと示しました。

3つの変量x,y,z(各変数1番～nまで)があります。

分散を最大にする主成分
u=ax+by+cz・・・(1)
の分散を最大にするa,b,cを求めるため、
係数の不定性をなくす為の条件のもと
a^2+b^2+c^2=1・・・(2)
そして、分散の定義より
S^2_u=(u_1-uバー) ^2+(u_2-uバー) ^2+・・・+(u_n-uバー) ^2/n-1
である分散の式に(1)を代入すると

S^2_u=a^2 s^2_x+ b^2 s^2_y+c^2 s^2_z+2abs_xy+2bcs_yz+2cas_zy・・・(3)
※s^2_x：xの分散
　s^2_y：yの分散
　s^2_z：zの分散
　s_xy：xyの共分散
　s_yz：yzの共分散
　s_zx：zxの共分散

となる。とテキストに書かれているのですが、分散式に(1)を代入し、展開する部分が省略されています。
そのため、(3)になるように展開が上手くできません。
その部分の展開を詳しく解説して頂けると助かります。
また、その部分から後半、ラグランジュの未定係数法を用いて、行列に展開する部分までも余力ありましたら、解説お願いします。その部分より後半は理解できました。

入力お時間をお取りますがよろしくお願いします。
また、問題の文が見づらいと思いましたので、手書きですが
添付させて頂きます。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/05/30 17:30

「分散式に(1)を代入して、展開しても」のところで具体的にどう処理してるのかを知りたかったんだけどなぁ....

例えば
u_1 = ax_1 + by_1 + cz_1
はいいよね? んで,
uバー = axバー + byバー + czバー
もいいよね?

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/05/30 14:45

展開が「上手く」できないとは, 具体的にはどう「上手く」できない?

この回答への補足

コメントありがとうございます。
分散式に(1)を代入して、展開しても、(3)式になりません。そもそも、
分散式のuにax+by+czを代入して、展開すれば、(3)になるのでしょうか。
どこに、何を入れて、整理すれば(3)になるのかがわかりません。

補足日時：2014/05/30 15:29