有理数を文字置き→互いに素な整数？自然数？

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質問者：sashin9909
質問日時：2014/09/25 21:53
回答数：5件

「√3が無理数であることを既知として√2 +√3が無理数であることを示せ」

という問題ですが、背理法で√2 +√3が有理数であることを仮定して解くことは分かったのですが、解説を読むと、

"√2 +√3 = q/p (p, qは互いに素な整数)
しかも√2 +√3 >0なのでp, qは自然数とおけます"

と書かれています。
"左辺が正だからp, qは自然数だ"という部分がよく分からないです。
(1)p, qがどちらも負の整数だという可能性はどうして無いのでしょうか？
(2)p, qを自然数に限らずに整数のままで解いていったとしても解ける気がするのですが、自然数という設定は必要なんでしょうか？
よろしくお願いします。

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回答 (5件)

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No.5

回答者： stomachman
回答日時：2014/09/26 02:25

(1)について

　「"√2 +…p, qは自然数とおけます」という表現は「√2 +√3を有理数で表す方法は √2 +√3=q/p (ただしp, qは互いに素な自然数)だけだ」などと主張しているのではありません。実際、√2 +√3=q/p となるp,qがあるのなら、√2 +√3 = (-q)/(-p)も成立つし、√2 +√3 = (2q)/(2p)も成立つし、√2 +√3 = (πq)/(πp)も成立つ。どれも√2 +√3を表す方法には違いない。しかしそんなこととは関係なく、「"√2 +…p, qは自然数とおけます」という表現は、単に「√2 +√3 = q/p という関係を満たすような、互いに素な自然数の対 (「つい」と読みます。ゲンミツに言えば「順序対 ordered pair」) <p, q>が、少なくともひとつ存在する」ということを意味しているんです。

　さて、ある正の有理数が与えられたとき、それを、互いに素な自然数の対<p, q>を使ってp/qと表す方法は、実際には「たまたま」一通りしかない。ですが、「"√2 +…p, qは自然数とおけます」という表現には「一通りしかない」なんて意味は全く含まれていません。すなわち、この表現は「もしかすると<p, q>以外にも互いに素な自然数の対<p', q'>があって、√2 +√3 = p'/q' であるかも知れない」という可能性を否定してはいないんです。

(2)について
　解けますけど、無駄にめんどくさくなるだけ。

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No.4

回答者： Dio_Genes
回答日時：2014/09/25 23:18

　その「自然数」というのは、1以上の自然数ということでしょうね（自然数に0を含めることもある）。

　p, qが整数でも構わないのです。ただし、q/p＞0であることから、

１．p≠0、かつ、q≠0である。
２．p＞0のときは、q＞0である。
３．p＜0のときは、q＜0である。

といった条件も加える必要があります。

　経験則なのですが、解くのに「～とする」いうことを付け加えるとき、必要最小限にしておくほうがやりやすいです。それが限定しすぎになる危険性はあり、それで出るべき答を見逃すこともあります。しかし、付け加えた条件がややこしくなったせいで間違う危険も高まります。

　お示しの問題を解くのに、p, qを正としておくことは、特に出るべき答を見逃すことになりそうもありません。それで必須ではないけれど、コツとしてpもqも正だとしてあるのです。

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No.3

回答者： uyama33
回答日時：2014/09/25 22:48

しかも√2 +√3 >0なのでp, qは自然数とおけます"

の意味は、同符号の整数の組でもよいが、自然数の組に限定してもかまわない。
と言うことです。

しかも、ｑが０なら分数が０となり、正の数を表現できない。
有理数なので、分母のｐが０にはならない。
したがって、ｐ、ｑが０より大きな整数の組、すなわち自然数の組としてよい。
どこかで、割り算が必要になったときに０ではないと言う性質が役に立つ。

もし、平方根を考えるような場合は、自然数にしておくと符号がすぐに決まるので簡単になる。

そんな理由で、自然数の組にして考えているのだと思います。
もちろん、同符号の整数の組で、どちらも０ではない。

としても、証明できると思います。