高1の数学Ⅰです。 背理法を用いて√2が無理数であることを証明するのですが 【証明】 √2は無理数で

高1の数学Ⅰです。
背理法を用いて√2が無理数であることを証明するのですが
【証明】
√2は無理数でない、すなわち有理数であると仮定すると、１以外に正の公約数をもたない2つの自然数a,bを用いて
a
√2＝─ と表される。
b
というところで、
1以外に正の公約数をもたない2つの自然数a,bがよく分かりません。
なぜ、√2がa÷bなのか
a,bは1ではないのか、とすると√2＝1ではないか
どなたかこの疑問に答えてくれませんか？？
お願いします(>_<;)

No.4 回答者： niratm 回答日時： 2018/05/23 21:04

No.3です。

> なぜ、√2がa÷bなのか
この疑問に対してコメントしていなかったので、補足しておきます。

√2をa÷bとしたのは、"√2を有理数であると仮定"したからです。

有理数とは、
　二つの整数 a, b （ただし b は 0 でない）をもちいて
　a/b という分数で表せる数のこと
です。
(これは定義 (決め事) です)


そもそも√2とは何か？ですが、
√2の定義は、
　２乗して２になる実数
のことです。

実数は、有理数と無理数から構成されます。
(これは、高校なら、決まり事 として教わるかと思います)

なので、
√2を無理数じゃないと仮定する
= √2は有理数である
= √2 は a/bとおける
となります。


もう１つ、前回回答の補足です。
　1以外に正の公約数をもたない2つの自然数a,b
1以外に正の公約数をもたない、
つまり1はOKということです。
なので、a = 1, b = 1も含まれています。

No.3 回答者： niratm 回答日時： 2018/05/23 01:42

> a,bは1ではないのか、とすると√2＝1ではないか

多分、気にされているのは、a÷bが整数のときと思いますが、
a = 1やb = 1
のケースも含んで問題ありません。
(もちろん、両方1の場合も問題ありません)

証明の続きは、両辺２乗して分母払って、
「a,bが2を約数にもつことになってしまう」
ことが"矛盾だ"となると思いますが、

a = 1やb = 1とした場合でも、
「2を約数にもつことになってしまう」
のはa>1,b>1のときと同じようにいえます。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/05/22 23:15

>1以外に正の公約数をもたない2つの自然数

例えば
2の約数=1、2
3の約数=1、3
だから1以外に共通の約数(公約数)を持ちません。
このような関係の自然数を「互いに素亅といいます。

これで分数をつくると約分は不要だし出来ません。
自然数/自然数という形の分数は約分すれば必ず
分子と分母が互いに素になります。

従って有理数を現す分数を考えるとき、分子と分母の関係を互いに素に限定して
問題有りません。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/05/22 21:25

有理数はa/bと言う分数。

分数だから、約分出来る場合が有るけど、この証明では、約分出来る場合は約分して、もうこれ以上約分出来ないa/bです、と言う意味。

4/6は2で約分できるけど、2/3は約分できない。
2と3の公約数は1だけだから、もうこれ以上は約分できない。

√2=a/bと言う分数だと仮定すると矛盾する事を証明する。
だから、a/bで書く事が出来ない数ですよ、が結論。


素因数分解の1意性の定理を使うと、こんな面倒な証明にはならず、もっとスカっと一発で証明できる。