最小公倍数の問題

24とある数字（自然数）aの最小公倍数が360となるaはいくつか。
答えは45、90、180、360でした。解説に3＾2×5＝45の倍数と説明してありましたが、意味が分かりません。24＝２×２×２×3、360＝２×２×２×3×3×5と因数分解されます。なぜ3＾2×5＝45の倍数となるのでしょうか。教えてください。

No.7 回答者： asano_nagi 回答日時： 2015/03/06 10:01

24 = 2 * 2 * 2 * 3

360 = 24 * 15 = 24 * 3 * 5 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5
です。

このうち、2が３個と、3が１個は、24が因数として持っていますので、相手の数字は、２を持つ必要はありません。
ただ、３が１個足りないですから、相手の数字は、３を２個持つ必要があります。

※例えば、24 と 3 の最小公倍数は24のままです。（後ろの数字の３が役に立たない）
　でも、24 と 9 の最小公倍数は24*3=72 で、後ろの数字の「３がふたつ」が役に立っています。

で、相手の数字は、

少なくとも（24がまかないきっていない）
1) 3 を 2個
2) 5 を 1個

持つ必要があります。
これが、「45の倍数」の意味です。

さらに、相手の数字が、例えば、7 とか因数として持っていると、これは、360の中にないので、最小公倍数が360になってくれません。
だから、相手の数字が持てるのは、

360 = 24 * 15 = 24 * 3 * 5 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5
の中にある因数しか持てません。
つまり相手の数字は、

最大でも
1) ２を３個
2) ３を２個
3) ５を１個
しか持てません。

整理すると

1) ２が０～３個
2) ３が２個
3) ５が１個
となる数字です。

つまり、

3 * 3 * 5 = 45
2 * 3 * 3 * 5 = 90
2 * 2 * 3 * 3 * 5 = 180
2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 = 360

がすべてです。

No.6 回答者： yhr2 回答日時： 2015/03/06 00:10

No.5 です。

再三ドタバタしてすみません。

記号で、「c」とすべきところを「a」と書いてしまったところがありました。
これを訂正して最終案を以下に再々掲します。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
　2つの数を

24 = 2^3 × 3^1 × 5^0
X = 2^a × 3^b × 5^c

と書き、これに対する最小公倍数を

360 = 2^3 × 3^2 × 5^1

と書くと、最小公倍数の各因数のべき乗は、２つの数（24とX）の各因数のべき乗の大きい方に等しくなる、ということから、

　a = 0 ～ 3
　b = 2
　c = 1

ということになります。

　ということで、X は最小でも
　a = 0
　b = 2
　c = 1
で「45」ということです。
　従って、X は「45の倍数」ということになります。

　具体的には、a = 0 ～ 3 に対して、

　　a = 0 のとき　X = 45
　　a = 1 のとき　X = 90
　　a = 2 のとき　X = 180
　　a = 3 のとき　X = 360

ということになります。

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2015/03/06 00:06

No.4 です。

何度もドタバタしてすみません。

No.4の「最小公倍数の各因数のべき乗の最大値は、２つの数（24とX）の各因数のべき乗の大きい方に等しくなる」は、正確には

「最小公倍数の各因数のべき乗は、２つの数（24とX）の各因数のべき乗の大きい方に等しくなる」

ですね。これを訂正して最終案を以下に再掲します。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
　2つの数を

24 = 2^3 × 3^1 × 5^0
X = 2^a × 3^b × 5^c

と書き、これに対する最小公倍数を

360 = 2^3 × 3^2 × 5^1

と書くと、最小公倍数の各因数のべき乗は、２つの数（24とX）の各因数のべき乗の大きい方に等しくなる、ということから、

　a = 0 ～ 3
　b = 2
　a = 1

ということになります。

　ということで、X は最小でも
　a = 0
　b = 2
　a = 1
で「45」ということです。
　従って、X は「45の倍数」ということになります。

　具体的には、a = 0 ～ 3 に対して、

　　a = 0 のとき　X = 45
　　a = 1 のとき　X = 90
　　a = 2 のとき　X = 180
　　a = 3 のとき　X = 360

ということになります。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2015/03/05 23:16

No.2 & 3です。

　う～ん、どうやら

24 = 2^3 × 3^1
X = 2^a × 3^b × 5^c

360 = 2^3 × 3^2 × 5^1

と書くと、最小公倍数の各因数のべき乗の最大値は、２つの数（24とX）の各因数のべき乗の大きい方に等しくなる、ということから、

　a = 0 ～ 3
　b = 2
　a = 1

ということのようですね。

　ということで、最小でも
　a = 0
　b = 2
　a = 1
で「45」ということのようです。

　この計算の方法は、↓下記の「Ⅱ」を参照ください。
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math/m3gcm1.htm

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2015/03/05 22:35

No.2です。

　あっ、すみません。
　15の倍数であることは言えても、45は出てこない、と言いたかったのです。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2015/03/05 22:30

24と求める整数 N との最大公約数を A とすると、最小公倍数が360と分かっていますから、

　　24　×　N　=　360　×　A

となります。この関係を知っているかいないかがポイントです。（注）

　この式を簡単化すると、

　　N　=　15　×　A

ですから、最大公約数Aが不明でも、Nは15の倍数であることが分かります。



（注）2つの数 X と Y の最大公約数を A、最小公倍数を B とすると、

　　　　X × Y ＝ A × B

の関係が成り立つ。

　↓参考まで。
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math/m3gcm1.htm
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80%E5%B0%8F% …

No.1 回答者： wild_kit 回答日時： 2015/03/05 22:07

３６０／２４＝１５

この１５（＝３×５）は、ａに含まれていなければならない。
ただしこのままａ＝１５とすると最少公倍数の要素に３は一つで済んでしまう。
つまり最小公倍数は１２０となり、条件にあわない。
とすれば、条件に合うようにするには、ａには３が二つ含まれている必要がある。
従ってａは、１５×３＝４５の倍数（ただし2倍、4倍、8倍）である。
これ、解説に3＾2×5＝45の倍数とあったらしいが、「じゃ3倍、5倍でもいいの？」と突っ込みたい。