文系の学生です。もちろん専門知識はありません。ご了承ください。
それで円の面積は確か 半径×半径×π だったと思います。
でもπって永遠に続きますよね。だから答えも全く正確じゃないと思うんです。
でもふと思ったんですが、円の形を無理やり四角形に直してみたら、もしかして・・・って考えたんですけど。こうゆう事は可能なんですか?
(例えば丸い高さを考えない豆腐を一旦潰して正確な四角形に直したり・・・)

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A 回答 (8件)

円の面積を求める際、πでなく、別な方法を使えば数学的に正確な円の面積を求めることが出来ます。



1)まず、円からはみ出さない最大の正三角形Aを考えます。この場合、3角形の3つの頂点は円に接しています。
2)次にどの辺も円の内側に入らない最小の正三角形A’を考えます。この場合、正三角形の各辺は円に接しています。
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5)更に正四角形を正五角形で考えます。
6)同様に正六角形、正七角形、、、、、と多角形の角数を増やして行きます。
7)角数は無限に増やす事ができますがSの値はある一定の値に近づきます。角数が無限になった際のSの値を極値と言い即ち円の面積になります。

各数が無限に増やす事が出来るのに面積の値はある一定値に近づくと言うのは面白いですね。

高校程度の積分の手法が分れば簡単に理解できる内容です。
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この回答へのお礼

なるほど!!何やらわかったような、わからないような。。。
でも何となく実際の近似値に近づいていくのは想像できます。
微分積分、勉強してみます。

お礼日時:2001/06/14 00:12

πとか、√2とか、いわゆる無理数の連中って、


人間の(計測)能力を越えてる数字ですからね。
そういう数字があってもいいじゃないですか。ね。
πはπなんですよ。
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測るもなにも、全くの真なる円は存在しないと思いますよ。

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えっと。

とりあえず、実際のものを使って計測って案は理論上できるんだろうけど
そのものが現実世界にあるものとなると、すでに原子レベルのってかんがえると
無理なのは明白ですよね。
いいんですよ。どうせ微小の世界だとすでに確立でしか認知できないから
自分の欲しい精度までで。ってのが工学部の意見です(笑)
微小の世界については量子力学とか単語で引くと暗号のような文章がいっぱい
でてくるので解読してみてください(^^;
ちなみに、πの値は工学部みなたいな実学じゃなくて数学やさんの世界では
円周と直径で定義されているのでπ自体は正確な値です。
確かに数字では表現できないけど定義があれば値として成立しちゃうんですよね
虚数とかなら文系でも高校でもならうかな?感覚的にはあれといっしょだと思う。
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この回答へのお礼

確かに精度があれば細かくは必要ないですよね。
でも人間って始めと終わりを知りたがりますね。。。

お礼日時:2001/06/13 23:55

永遠に続くからπは正確じゃないと言うのは違うんじゃないでしょうか。


例えば
0.999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999....
と永遠に続く数字はあなたは正確じゃないと思われますか?でもこれって1なんですよ。

じゃ、
0.123123123123...
はどうですか?正確じゃないですか?でもこれも123/999という分数です。

分数の形で表す事の出きる数を有理数と呼ぶことはご存知ですか?
あなたの感覚だと有理数以外、つまり無理数はすべて正確でないことになりますよね。
でもそれは「小数点表示で表した場合に有限個の桁数で終わらない」というだけであって
正確じゃないわけじゃないんです。決まってないわけじゃなくて人間が途中までしか知らないだけなんです。

πのほかにも自然対数の底
e=1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...
 =2.71828182...
なんてのも不規則に永遠に数字が続きますが、れっきとした実数であり、曖昧さの無いただ1点の数です。

ご納得頂けます?
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この回答へのお礼

ん~ 0.999999・・・・・は1なんですか?
確かに分数の形で存在するものがあるのはわかります。
でも奥が深い・・・

お礼日時:2001/06/13 23:52

可能かどうか?という点では可能ですよ。


ただし計算上は、じゃ無くて理論上は、ですけど。

発想を変えて、面積を求める時に面積だけに着目しないで、体積を考えるんです。
半径rで高さhの円柱を用意し、その体積を求めます。
#重さと質量でも出るし、水に沈めてでもいいし....。

で、その体積を高さhで割れば面積がでます。

まぁ現実問題として「その円柱の制度より円周率の方が精度がいいんじゃないか?」とか「体積を正確に測るときの誤差の方がでかいんじゃないか?」という問題は残りますけどね。
あくまで「理論的には」ということです。

以上、思いっきり理系の発想でした。
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この回答へのお礼

やっぱり可能ですね。なるほど体積も使っても出来ますね。
理系の発想参考になります。

お礼日時:2001/06/13 23:49

もともと、円を多角形に分割して・・・という方法で近似していって生まれた


のが円周率(π)です。計算する際に誤差が出てしまうのは仕方ないことだと
しか言えませんねぇ。
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それをしようとして出てくるものがπなんですよ。



円を無限に小さい扇形に分けて、それを上下交互に合わせていくと、縦が半径、横が半径(直径/2)×πの長方形ができるんです。そんなわけで、円の面積ができるんです。

参考URL:http://devi123.hoops.ne.jp/sano/en1.htm
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この回答へのお礼

楽しいアニメーションの紹介ありがとう。
とてもわかりやすかったです。

お礼日時:2001/06/13 23:47

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>nが3の場合、半径rの円は24個、
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a1=6,a2=12,a3=18,a4=25,a5=31,
a6=37,a7=43,a8=50,a9=56,a10=62,
a11=69,a12=75,a13=81,a14=87,a15=94,
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a21=131,a22=138,a23=144,a24=150,a25=157,
a26=163,a27=169,a28=175,a29=182,a30=188, ...
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[]はガウス記号です。

質問者さんの書かれている簡単な式では一般式を導出できないですね。
場合分けが無数にできてしまいますから。

余り意味は無いけど参考まで。
n=2でa2=6n=12
n=3でa3=6n=18になりますね。
>6×(n+1)+1になるときのnはいくつになりますか?
n=4~7ではan=6n+1の式となる。
n=4でa4=6n+1=25
n=5でa5=6n+1=31
n=6でa6=6n+1=37
n=7でa7=6n+1=43

n=8~10まではan=6n+2の式となる。
n=11~14まではan=6n+3の式になる。
n=15~17まではan=6n+4の式になる。
...
これでは場合分けが無数にできてしまいますので
一般式は簡単には導出できませんね。
大きい円に対して小さい円の占める中心角を求め、それが全円の円周角2πの中に何個取れるか、という発想の転換をすれば上の(◆)の式が導出できます。

>nが2の場合、半径rの円は18個、重なり合わないように配置できます。
コンパスを使って図を描いて見ましたか?12個になりますよ。

>nが3の場合、半径rの円は24個、
この場合も図を描くと18個になりますね。

とりあえずn=1~30までに対する重なりあわない円の個数{an}を求めてみました。
a1=6,a2=12,a3=18,a4=25,a5=31,
a6=37,a7=43,a8=50,a9=56,a10=62,
a11=69,a12=75,a13=81,a14=87,a15=94,
a16=100,a17=106,a18=113,a19=119,a20=125,
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よって1.6倍となります。
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確かに全球ならば4πr^2で、北極から南極までの直線距離2rを半径とした円の面積と同じですし、半球なら2πr^2で、北極から赤道までの直線距離√2rを半径とした円の面積と同じです。

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直感的なというのは、例えば、平面上の円の面積を求める際には、多くの半径で円を刻んで交互に並べ替え、長方形にしてしまうというやり方を小学校で習いますが、ああいった理解の仕方を想定しています。

どうぞよろしくお願いします。

※地図の作成で、正積方位図法を扱いまして、この疑問を持ちました。

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ある緯度で円を描くときに、その緯度より北極側の面積を求めるとします。その答えが、私にとっては不思議なのですが、北極からその緯度上の一点への直線距離を半径とする、平面上の円の面積と同じになると知りました。

確かに全球ならば4πr^2で、北極から南極までの直線距離2rを半径とした円の面積と同じですし、半球なら2πr^2で、北極から赤道までの直線距離√2rを半径とした円の面積と同じです。

「なぜ」そうなるのか、求積法を教えていた...続きを読む

Aベストアンサー

球の中心をO,北極をNとし,NO上の点Aを通って直径に垂直な平面と球面との交円(緯線)上の1点をBとする。
a=NA,b=AB,r=ON=OB,x=NB とする。
b^2=r^2-(r-a)^2
x^2=a^2+b^2=2ar

球の切り口より北の部分の表面積をS1,NBを半径とする円の面積をS2,ついでに,半径r,高さaの円柱の側面積をS3とする。

目的:aをΔa=r/nだけ増やした時,S1,S2,S3それぞれの増分がほぼ等しい(n→∞ のとき 誤差→0)ことを示す。

S2=πx^2=2arπ
ΔS2=2(a+Δa)rπ-2arπ=2πrΔa

S3=2πra=S2

ΔS1は球面上の細い帯であるが,Bを通る緯線で接している円錐の裾で近似してよい。
すなわち,ONの延長上に頂点Pがあって,∠PBO=90゜となる円錐である。
△PBO∽△PAB∽△BAO だから母線PBの長さをLとすると
L=r/b PA
円錐の側面の展開図は扇形で,半径がL,弧が2πbである。中心角をθ,面積をSとする。
2πb=Lθ, S=1/2L^2θ
LがΔL増えると
ΔS=1/2(L+ΔL)^2θ-1/2L^2θ=(LΔL+1/2ΔL^2)θ≒LΔLθ=2πbΔL
ところで L=r/bPA より ΔL=r/bΔa
ΔS1=ΔS=2πrΔa=ΔS2
証明終わり

考えていた時は直感的だと思ったのですが,実際に書いてみると,直感的とは言えないですね。

球の中心をO,北極をNとし,NO上の点Aを通って直径に垂直な平面と球面との交円(緯線)上の1点をBとする。
a=NA,b=AB,r=ON=OB,x=NB とする。
b^2=r^2-(r-a)^2
x^2=a^2+b^2=2ar

球の切り口より北の部分の表面積をS1,NBを半径とする円の面積をS2,ついでに,半径r,高さaの円柱の側面積をS3とする。

目的:aをΔa=r/nだけ増やした時,S1,S2,S3それぞれの増分がほぼ等しい(n→∞ のとき 誤差→0)ことを示す。

S2=πx^2=2arπ
ΔS2...続きを読む

Q半径Rの円に内接する四角形ABCDについて

各辺の長さと角度について
AB=AD=√3、BD=2√2、cos<ABC=√3/3
sin<BAD=2√2/3、R=3/2、AC=√6
を満たす。

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求め方と回答の方法が分かりません。
ご回答宜しくお願い致します。

【補足】
余弦定理と正弦定理以外のやり方が必要または
知っておかなければいけない知識があれば合わせて提示して頂きたいです。
お願いします。

Aベストアンサー

各辺の長さと角度について
AB=AD=√3、BD=2√2、cos<ABC=√3/3
sin<BAD=2√2/3、R=3/2、AC=√6
を満たす。

>この時の辺CDの長さを求めよという問題です。

△ABCで、BC=xとおくと、
余弦定理より、
AC^2=BC^2+AB^2-2×BC×AB×cos<ABC
(ルート6)^2=x^2+(ルート3)^2-2×x×ルート3×(√3/3)
6=x^2+3-2x
x^2-2x-3=0
(x-3)(x+1)=0
x>0より、x=3よって、BC=3
BCは、外接円の直径だから、(R=3/2)
△BCDは、角BDC=90度の直角三角形
CD^2=BC^2-BD^2=3^2-(2ルート2)^2=1
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Q正の数・負の数の計算、及び円の面積についての素朴な疑問

(1)中学校に入って習う正の数・負の数ですが、「+」と「-」をかけると、「-」になり、「-」と「-」をかけると「+」になります。規則として覚えればよいだけの話かもしれませんが、れっきとした数学上の理由があるはずです。

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Aベストアンサー

(1)例えば、
(-3)x 4 = -12 これはいいですね。
同様にして、
(-3)x 3 = -9
(-3)x 2 = -6
(-3)x 1 = -3
(-3)x 0 = 0
かける数を減らしていく(4, 3, 2, 1, 0)と答えはどん
どん増えていきます。かける数がマイナスになって
も連続して増えていくと考えるのが自然です。
(-3)x 0 = 0
(-3)x (-1) = 3
(-3)x (-2) = 6
(-3)x (-3) = 9
だからマイナスかけるマイナスはプラスになると
数学では決められています。

(2)図を書いて説明するのがいいのですが、
文章だけで説明します。
半径rの円があります。これを半分に切って2枚
にします。さらにその2枚をそれぞれ半分に切って
4枚にします。それをどんどん繰り返していくと
高さがrの細い扇形がたくさんたくさんできます。
こうしてできた細い扇形の一枚を円弧を下にして
置きます。その隣に次の扇形を円弧を上にして並べ
ます。その隣には円弧を下にして並べます。これを
繰り返して、全ての円弧を並べます。そうすると
高さrで、幅がrxπ(パイ)の長方形ができます。
(長方形の幅は半径rの円周(2rπ)の半分なので
rπになります。)
この長方形面積は最初の細かく切る前の円の面積と
等しいはずです。
長方形の面積は、高さ(r)x幅(rxπ)なので
r x r x π となります。つまり、円の面積は
半径×半径×3.14 になります。

(1)例えば、
(-3)x 4 = -12 これはいいですね。
同様にして、
(-3)x 3 = -9
(-3)x 2 = -6
(-3)x 1 = -3
(-3)x 0 = 0
かける数を減らしていく(4, 3, 2, 1, 0)と答えはどん
どん増えていきます。かける数がマイナスになって
も連続して増えていくと考えるのが自然です。
(-3)x 0 = 0
(-3)x (-1) = 3
(-3)x (-2) = 6
(-3)x (-3) = 9
だからマイナスかけるマイナスはプラスになると
数学では決められています。

(2)図を書いて説明するのがいいのですが、
文章だけで説明します。
半径...続きを読む

Qπ×2.500×2.500×79°22′49″/360°の答え

π×2.500×2.500×79°22′49″/360°の答え

上記タイトルの答えを教えて下さい。
昔の書類の答えは 4.330 となっていました。
公共機関に提出する書類なのですが、制度が変わったのか
少数第6位まで記載して欲しいと指示がありました。

エクセルで =2.5*2.5*PI()*(79.2249/360) と打込み、計算したところ
4.321048 となりました。

この計算はあっているでしょうか?
79.2249 の部分がこれであっているのか不安になりました。

ご存知の方いらっしゃいましたら教えて下さい。

Aベストアンサー

79°22′49″は60進法なので、
79+(22/60)+(49/3600)で計算します。


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