連続時間LTIシステムを考えるときに、その単位インパルス応答h(t)が
h(t) = e^(-3t)u(t)
として与えられて、入力信号が、
x(t) = e^(-2t)u(t)
とするときに、
入力x(t)に対するシステムの出力y(t)を、ラプラス変換を用いた場合、用いなかった場合でそれぞれ求めよ

という課題が出たのですが、調べても中々わからないので教えていただきたいです。

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A 回答 (1件)

ラプラス変換を用いない場合、出力は入力と


インパルス応答のコンボリューションなので

y(t)=∫[0→t]e^(-2τ)・e^(-3(t-τ))dτ=∫[0→t]e^τ・e^(-3t)dτ
=e^(-3t)∫[0→t]e^τdτ = e^(-3t)(e^t-1)=e^(-2t)-e^(-3t)

ラプラス変換では
{1/(s+2)}・{1/(s+3)} の逆ラプラス変換は

{1/(s+2)}・{1/(s+3)} = 1/(s+2) - 1/(s+3) →e^(-2t)-e^(-3t)
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Qx^n+1/x^nをt=x+1/xを用いて表したい

t=x + 1/x
とします。

t^2=x^2 + 1/x^2 +2
より、x^2 + 1/x^2=t^2 - 2
です。

t^3=x^3 + 1/x^3 +3(x + 1/x)
より、x^3 + 1/x^3=t^3 - 3t
です。

t^4=x^4 + 1/x^4 +4(x^2 + 1/x^2) + 6
より、x^4 + 1/x^4=t^4 - 4t^2 + 2
です。

一般に、x^n + 1/x^n をtを用いて表すと、具体的にどういった係数になるのでしょうか?

Aベストアンサー

#1 です。

>双曲線関数 cosh(X) の N 倍角公式になりそうです。
>  x^n + 1/x^n = 2*cosh[n*Ln(x)]
>  t = x + 1/x = 2*cosh[Ln(x)]

まず、チェビシェフ多項式をご覧ください。似たかたちですね。
------------------
 http://ufcpp.net/study/digital_filter/chebyshev.html
>チェビシェフ多項式
Cn(x) = cosh[n acosh(x)]
漸化式で表されるn次の多項式。
  C<n+1>(x) = 2*x*C<n>(x) - C<n-1>(x)

これにスケール変更すれば、お求めの式になるようです。
  2*Cn(t/2)

[例]
  C4(x) = 8 x^4 - 8 x^2 + 1
  2*C4(t/2) = x^4 - 4 x^2 + 2

Qロピタルでも解けない?極限lim[x→0](e^tanx-e^x)/(e^sinx-e^x)

極限
lim[x→0](e^tanx-e^x)/(e^sinx-e^x)
を求めたいのですが、0/0型となります。
ロピタルの定理を用いて、分母分子をそれぞれ微分しようとしても、逆にややこしい式になります。
どのようにすれば解けるでしょうか?

Aベストアンサー

ロピタルの定理を繰り返し用いれば,求められますよ.
f(x) = e^(tan x) - e^x,
g(x) = e^(sin x) - e^x
とすると,
f(0) = g(0) = f'(0) = g'(0) = f''(0) = g''(0) = 0,
f'''(0) = 2, g'''(0) = -1
より,
lim[x->0] f(x)/g(x)
= lim[x->0] f'(x)/g'(x)
= lim[x->0] f''(x)/g''(x)
= lim[x->0] f'''(x)/g'''(x)
= 2/(-1)
= -2.
計算はご自分で.

Qy=x^(x^(x^(x^(x^(x^…の定義域は

y=x^(x^(x^(x^(x^(x^…の定義域は
[e^-e,e^(1/e)]と書かれていた本を昔読んだことがあります。
(うろ覚えですが)

最大値がe^(1/e)であることは容易に示すことができたのですが、
最小値がe^-eであることはどうやって示せばよいのでしょうか。

ご存じの方がおられましたらご教授いただきたく、よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

y=x^(x^(x^(x^(x^(x^…^(x^x)…)))))≡x^^x (0<x) (xは無限に並ぶ)…(A)
この関数で注意しなければならないことは
---------------------------------------------------------------
y=x^(x^(x^(x^(x^(x^…^(x^x)…)))))) (0<x) (xはn個並ぶ)…(B)
x→0の時 y→0or1となること

0^0^…^(0^0)=1 (0が偶数個並ぶとき)
0^0^…^(0^0)=0 (0が奇数個並ぶとき)
からx<<1のとき
(B)は多価関数となると推察される。
しかも xの数の偶数、奇数で関数が分かれる。
---------------------------------------------------------------
したがって(A)を考えるとき、偶数個のxを固まりにして考えないと上の性質を表現できない。
なので
(A)式の右辺をyで置換する場合
y=x^(x^(y)) (0<x≦e^(1/e))…(C)
とすることで(B)式のxの数の偶数、奇数の場合の性質を含ませることが出来る。
この(C)の関数は0≦x≦e^(-e)で多価関数になるので,この変域を除けば
定義域は次のようになる。
e^(-e)≦x≦e^(1/e)
この定義域でyの値域は
1/e≦y≦e
となります。

(C)のグラフを添付しておきます。

定義域の最小値はグラフからもわかりますが、(C)の関数式が多価関数にならない下限値
(y=1/eの時のx)として求めることが出来ます。

y=x^(x^(x^(x^(x^(x^…^(x^x)…)))))≡x^^x (0<x) (xは無限に並ぶ)…(A)
この関数で注意しなければならないことは
---------------------------------------------------------------
y=x^(x^(x^(x^(x^(x^…^(x^x)…)))))) (0<x) (xはn個並ぶ)…(B)
x→0の時 y→0or1となること

0^0^…^(0^0)=1 (0が偶数個並ぶとき)
0^0^…^(0^0)=0 (0が奇数個並ぶとき)
からx<<1のとき
(B)は多価関数となると推察される。
しかも xの数の偶数、奇数で関数が分かれる。
---------------------------------------------------------------...続きを読む

Q(1)任意の定数aに対し、e^x>=e^a+(x-a)e^a が成り立

(1)任意の定数aに対し、e^x>=e^a+(x-a)e^a が成り立つことを示せ。
 これは解決。
(2)∫[0->1]e^(sinπx)dx>=e^(2/π)を示せ。
 どうやっても不等号の向きが逆になってしまいます。
  
(1)の式で、xをsinπxにして、e^sinπx>=e^a+(sinπx-a)e^a が成り立つ。
よって、 ∫[0->1]e^sinπxdx>=∫[0->1]e^a+(sinπx-a)e^adx
右辺を計算するとe^a(1-a+2/π)でこれは、(1)より=<e^(2/π)となり、不等号の向きが
逆だと話がうまいのであるが・・・。どこが間違っているのでしょうか。よろしく
お願いします。

Aベストアンサー

#No1です。
計算間違いは言いすぎだった。君は計算は間違っていない。
先ほどのように示せばよいわけだが、どうやら君が心配しているのは
(1)からe^a(1-a+2/π)≦e^(2/π)
で悩んでいるが、これは十分合っている。ただ(2)の不等式を示すにはこのようにしては示すことが不可能であるのだ。

例えばa≦b
を示すのに  条件c≦bだから
計算するとc≦aになることも十分ありうる。これでは
a,bの大小関係が分からない。つまりa≦bであるかもしれないが分からないものなんだよ。
だからこれでは不等式を示すのは不可能である。


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