システム安定性（ゲイン余裕／位相余裕）

開ループ安定の場合、閉ループが安定し、開ループのナイキスト線図orボード線図よりゲイン余裕／位相余裕が算出できますが、開ループが不安定、閉ループが安定の場合、ゲイン余裕／位相余裕の算出ができますか？できるなら、方法を教えて頂けませんでしょうか？javascript:void(0);

No.3 回答者： nao4230 回答日時： 2016/09/29 00:40

「安定」とは伝達関数の極の実部が負の時です。

不安定の場合、s=jωとして
周波数特性が得られるかは疑問があります。簡単な例ですがA(s)=1/(s+1)と
B(s)=1/(s-1)ではs=jωとするとゲインカーブはともに
G(ω)＝1/√（１＋ω^2）となってしまいます。
　詳しいことは数学的な考察が必要ですが、極・零ともに実部が負または０で
ないと正しいゲイン特性は得られません。Spiceでゲインカーブを計算してい
ますが単純にs=jωとして計算しているだけであって、結果が正しいとは言い
切れません。
　B(s)のインパルス応答は、無理やり逆ラプラス変換すればb(t)=exp(t)
ですが、実はb(t)のラプラス変換は収束しません。そもそもラプラス変換は
有限エネルギの信号に対してしか定義来ません。収束すれば極の実部は負
または零の場合になります。
　従ってゲイン余裕・位相余裕以前の話です。ただし、開ループ伝達関数が
不安定でも帰還を掛けることで極の位置を変えること、つまり安定化する
ことは可能です。
このような場合、安定性に余裕があるかどうかはステップ応答でオーバー
シュートの大きさを調べるなど別の手段が必要になります。
　実務ですが以前、不安定零点を持った制御対象をロバストにするのに苦労
したことがあります。SpiceもMatlabも全然役に立たなかったからです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
開ループ不安定、閉ループ安定の場合、ゲイン余裕／位相余裕の算出は別の手段で調べるんですよね。なぜナイキスト線図から計算できないですかね。Matlabの関数を調べましたが、計算できる関数がなかったです。ちなみに、ボード線図を引くとき、関数bodeを使って引けます。ボード線図でゲイン余裕／位相余裕を算出したいとき、関数marginを使えばよいと思います。同様にナイキスト線図をひくとき、関数nyquistを使って引けますが、そのナイキスト線図でゲイン余裕／位相余裕を算出したいとき、使える関数がないようです。それは理論上で算出できないか、それともMatlab上、このような関数がないかがよく分かりません。

お礼日時：2016/09/29 20:49

No.2 回答者： xpopo 回答日時： 2016/09/28 23:43

回答NO.1です。

回答のお礼、ありがとうございます。お礼欄のコメントについて回答いたします。

＞’’開ループ　は　ネガティブ・フィードバックが掛かってない　状態ですから不安定にはなりません。”の観点に対し、同意できません。
＞例えば、開ループ伝達関数　G0(s)=(-s+6)/(s^2+2s-4)は一つの極が不安定で、開ループが不安定であります。閉ループ系はナイキスト線図がs=1の点を反時計回りに1回周るので、安定であります。
＞上記例の場合、ゲイン余裕／位相余裕の算出ができますか？

回答＞＞開ループ伝達関数　G0(s)=(-s+6)/(s^2+2s-4)のBode線図を面倒なのでLTspiceを使って計算しました（添付図）。その結果から、

　　　位相余裕Φｍ＝168°　at　f=200　mHz
　　　ゲイン余裕＝＞位相がｰ90°までしか回らず、-180°にはならないので無限大？

という風に計算できます。
伝達関数の「一つの極が不安定」という意味が分かりません。極は二つあり、ｓ＝1.236　と　-3.236　ですがこれらから何も安定とか不安定ということは言えません。
何か勘違いされてるようですね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
回答No.3に書いてありますが、「安定」とは伝達関数の極の実部が負の時です。
制御関連の本は安定の定義が書いてあると思いますので、お調べください。

お礼日時：2016/09/29 20:25

No.1 回答者： xpopo 回答日時： 2016/09/28 00:00

開ループ　は　ネガティブ・フィードバックが掛かってない　状態ですから不安定にはなりません。

ですから開ループが不安定という状態は無いということです。勘違いされてますね。

一方閉ループは　ネガティブ・フィードバックが掛かっている　状態です。この　ネガティブ・フィードバックが掛かっている　閉ループ　が安定なのか不安定なのかを吟味するために　開ループ　のナイキスト線図orボード線図よりゲイン余裕／位相余裕を調べて　閉ループシステムの安定性を判定するのです。

この回答へのお礼

No.1の回答
xpopoさん、ありがとうございます。
’’開ループ　は　ネガティブ・フィードバックが掛かってない　状態ですから不安定にはなりません。”の観点に対し、同意できません。
例えば、開ループ伝達関数　G0(s)=(-s+6)/(s^2+2s-4)は一つの極が不安定で、開ループが不安定であります。閉ループ系はナイキスト線図がs=1の点を反時計回りに1回周るので、安定であります。
上記例の場合、ゲイン余裕／位相余裕の算出ができますか？

お礼日時：2016/09/28 21:04