極限の質問です。 lim x•e^(1/x) : x -> 0+, 0- の極限を解きたいのですが、

極限の質問です。
lim x•e^(1/x) : x -> 0+, 0- の極限を解きたいのですが、どのように式変形をすれば不定形にならずに済むのでしょうか。よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2016/10/11 11:59

高校数学の範囲でやってみました。

まず、1/ｘ＝ｙと変換して問題をlim(e^ｙ)/y: y ->+∞、－ ∞とおきかえます。すると
lim x•e^(1/x) : x -> 0-　＝lim(e^ｙ)/y: y ->－ ∞＝lim　(e^ｙ)/(1/ｙ)＝0はすぐ出ます。

つぎに、画像の式展開より
lim　y/(e^ｙ): y ->＋ ∞＝ 0+が出てくるので
lim x•e^(1/x) : x -> 0+＝lim(e^ｙ)/y: y ->+∞＝lim　1/(y/e^ｙ): y ->＋ ∞ =+∞
となります。

この回答へのお礼

詳しく解説をしていただき、ありがとうございます。助かりました。

お礼日時：2016/10/11 21:14

No.2 回答者： Ae610 回答日時： 2016/10/11 07:48

ANo.1です。

何か余計な負号が付いちまったので訂正・・!

lim(x→+0){x・e^(1/x)}
= lim(x→+0){e^(1/x)/(1/x)}
= lim(x→+0){-(1/x^2)・e^(1/x)/(-1/x^2)}
= lim(x→+0){e^(1/x)}→∞

同様に
lim(x→-0){x・e^(1/x)} →0

この回答へのお礼

見易く書いていただきありがとうございます。ロピタルの定理を使うと、凄くシンプルに解けるんですね。

お礼日時：2016/10/11 21:15

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2016/10/11 07:27

ロピタル定理により

lim(x→+0){x•e^(1/x)}
= lim(x→+0){e^(1/x)/(1/x)}
= lim(x→+0){-(1/x^2)・e^(1/x)/(-1/-x^2)}
= lim(x→+0){e^(1/x)}→∞

同様に
lim(x→-0){x•e^(1/x)} →0