高校物理の力学的エネルギーについて質問です。広い貯水池の水面から5.0mの高さのところへ、水面から

Question

高校物理の力学的エネルギーについて質問です。

広い貯水池の水面から5.0mの高さのところへ、水面からなめらかなパイプを通してポンプで水を汲み上げる。汲み上げる水量は毎分30Lである。水1L(＝1000cm^3)の質量を1.0kg、重力加速度の大きさを9.8m/s^2として、次の各問いに答えよ。
(１)ポンプを2分間動かした時、重力に逆らってした仕事を求めよ。

このような問題がありました。
(2)以降は、質問の内容上不要だと思ったので省略させて頂きました。m(_ _)m
この問題に関して、以下の2つの質問です。

①この問題の解答を見ると、位置エネルギーの増加分が仕事にあたるから〜というように解いています。
ですが、このとき、水の運動エネルギーの増減というのは考慮しないのでしょうか？
仕事というのは運動エネルギーも変化させますよね？
なぜ位置エネルギーの変化のみが仕事として扱われているのでしょうか？
問題文に、水の速度が一定であるというような表記は特になされていないような気がするのですが……気にしすぎでしょうか。

②ものすごく屁理屈のような質問なのですが、ポンプを動かしてから２分間たって、止めた瞬間というのは、5.0m未満の高さのパイプに詰まってる水というのがあるわけですよね？
そのパイプに詰まった水にした仕事は考えなくていいのでしょうか？

すごく基礎的な問題だと思うのですが、考えれば考えるほどよく分からなくなってきたので質問させて頂きました。

masterkoto · Accepted Answer

1,
tacosan 解説の通りですね
題意を正確に把握すると
重力に逆らってした仕事⇔重力と大きさは等しいが真逆の向きの力がした仕事
これを求めよといわれているわけです！
ゆえに
求めるべき仕事＝重力と大きさは等しいが真逆の向きの力x移動距離
＝ｍｇｈ
です

２、貯水池の水は膨大な量でポンプは連続的に動いているわけですから
　10分、1時間、10時間・・・
と長い時間動き続けている状況を思い浮かべるのです
その連続稼働の1場面の1分間を切り取ると
ポンプ稼働後の時刻1分~2分の場面であれ
2分~3分の場面であれ
1時間30分から1時間31分の場面であれ
いずれもパイプ出口からは1分当たり30Lの水が出てくることになりますよね
そして、(1)で求めた通り30L湧き出させるために必要なエネルギー量がmghです
これらの情報をもとにある1分間の仕事率が求められるわけですが
このときパイプの途中に残った水は
次の1分間でパイプ出口から出てくる30Lに組み込んでかんがえることになるんで、パイプに詰まった水というものは長い稼働時間のなかで次の1分間
さらにその次の1分間で出てくる水として扱いますよ！

syotao · Answer

あなたが気にしている通り
水揚げポンプというのは水に力学的エネルギー
を与えるものだから基本運動エネルギーも考慮に入れなければ
ならないけど
この例題のように流量30ℓ/分の場合口径100ｍｍの管を
使ったとしても流速は0.06ｍ/秒にしかならない。
これは位置エネルギーに換算して2×10のマイナス4乗　ｍ
にしかならないから
5ｍにたいしては無視できるほど小さい。
したがってポンプのする仕事はほとんど
重力の逆らってする仕事と考えてよい。
ぼくは大型ポンプの運転管理の仕事をしたことあるけど
ポンプのすぐ出口の圧力は運転中も停止中も
たいして変わってなかった記憶がある。

masa2211 · Answer

NO.4補足
＞ポンプが水にした仕事というのは、水の位置エネルギーになるのでしょうか？
＞運動エネルギーになるのでしょうか？
流体の場合、位置エネルギー/運動エネルギー/圧力エネルギーは容易に相互変換するから、この3つを厳密に区別してもあまり意味がないことです。
しいて言うなら、本質問の場合、ポンプの中心は水面と同じ位置にあるから
ポンプの仕事は、いったん、運動エネルギーと圧力エネルギーとなり、
パイプの中だから運動エネルギーは変化なし、圧力エネルギーは、水が押し上げられるにつれ位置エネルギーに転換
といったところ。
ただ、問題文は、「重力に逆らってした仕事」という嫌らしい書き方なので運動エネルギーはノーカン扱いしたくなります。

で、当方の基本スタンスは、
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12272575.html
にも書きましたが、
現実は計算結果の6割（つまり誤差4割）であっても、問題に書いてないことは考えなくてよい（実務でなくてテスト問題だから。）
となり、運動エネルギーを考えるならパイプの直径（＝断面積）が必要。
コレがわからない以上、運動エネルギーを考えることができない、よって運動エネルギーは考慮しない。となります。

では、運動エネルギーを考慮してみようか？
問題文で不明なものは、現実でそれっぽい値を使うとします。
問題文より、毎分30リットルのポンプ。市販品のポンプで該当するのは、工事の排水用ポンプで、吐き出し側のパイプの直径が5センチのもの。
そうすると、流速0.25m/s。　（計算式は省略。）
位置エネルギー/運動エネルギー/圧力エネルギーは容易に相互変換するということから、流体力学では、エネルギーを水深で表すのが一般的なので使わせてもらうけど、流速0.25m/sを水深換算(=0.25*0.25÷２÷9.8)すると、水深3ミリ。高低差は5ｍなので、それが3ミリ変わってもほとんど関係ありません。したがって、法則のキモだけ抜き出す場合、こういうのは無視します。
次に、「なめらかな管」にイチャモンつけてみます。試験なら、「摩擦を考えなくてよい」の一択ですが、試験じゃないなら、「通常の範囲内で、なめらかな管。塩ビ管/ポリ管/ガラス管など」としても、無茶じゃないよね？　直径5センチ、長さ10ｍ（斜めになっているので、明らかに5ｍより長い）として、摩擦抵抗の影響は水深換算で2センチくらい。計算式は省略。
つまり、運動エネルギーより摩擦のほうが影響は大きい。
摩擦を無視するなら、運動エネルギーも無視すべき。

質問2。　これは意外と面倒くさい。
直径5センチ、長さ10ｍのパイプだと、体積20リットル。
最初にパイプが空だとすると、パイプが満水になるまで40秒。この間の平均仕事は、水を重心(=2.5m)まで持ち上げればよいだけだから、残り1分20秒における仕事率の半分でよいことに。
こちらは、パイプが満水から始める（そうなのかどうか書いていないけど。）　もしくは　　長時間運転のうち2分を切り出す　　あたりで妥協するしかないです。

おまけ。
NO.2
>5m揚水するけど、上に貯まった水の水面は上昇する。
>すると余計に水を上まで上げなきゃならなくなる。
>いやあ。詰めが甘い。
問題文の図は、パイプは峠までで、そこからは標高差1.5ｍくらいの下り。水は溜まっていないので、2分後(＝60リットル)で、水位が1.5ｍ上がるかどうか。上がるようには見えません。だから、その部分の詰めは完璧。代わりに、最初にパイプが空なら、という100倍返し爆弾炸裂、かな？

yhr2 · Answer

No.3 です。「お礼」に書かれたことについて。

＞そもそもの話なのですが、ポンプが水にした仕事というのは、水の位置エネルギーになるのでしょうか？
運動エネルギーになるのでしょうか？

ポンプがポンプの位置で水に加えるエネルギーは運動エネルギーです。
水平方向なら「流れ」になるし、鉛直方向なら「高いところに昇る」ことになります。水平方向なら「流れる速さ」は一定ですが、「高いところに昇る」場合には、高くなればなるだけ「速さ」は遅くなります。つまり「位置エネルギー」が増えた分「運動エネルギー」が減ります。
これは「水」の持つエネルギーが変化しているということで、この変化にはポンプは関係しません。

＞水に働く重力は、ポンプの角度に平行な座標軸に分解すると、水の移動の反対方向にかかる力となりますが、それがマイナスの仕事をするということになり、ポンプの水にするプラスの仕事と足して、水にされる仕事は0になる、なんてことは無いのでしょうか？

重力が仕事をするのではなく、「ポンプ」が「重力に逆らって仕事をする」のです。
「どの力のした仕事か」を考えないといけません。「仕事」は「力の方向」が正の仕事です。
従って、「重力」から見れば「ポンプに仕事をされた」あるいは「重力は負の仕事をした」ということになります。

ポンプのした仕事と、重力のされた仕事は、「同じものをどちらから見たか」ということであって、「足し合わせる」ことなどありません。
店で買い物をするときに「100円払った」とすれば、あなたは「-100円」になり、店は「+100円」ですが、「足し合わせて買い物はしなかった」などということにはなりません。

yhr2 · Answer

＞①この問題の解答を見ると、位置エネルギーの増加分が仕事にあたるから〜というように解いています。
ですが、このとき、水の運動エネルギーの増減というのは考慮しないのでしょうか？

はい、考慮する必要はありません。
水の運動エネルギーは、「低い位置」から「高い位置」に昇る途中では存在しますが（そのエネルギーで位置エネルギーの高いところに上がる）、高いところに着いたときに「速度 0」となって全部「位置エネルギー」に変わります。
なので、「途中経過は議論せず」に、初期高さ（貯水池の高さ）から「高いところにある水槽」に移動した「前後」で比較すればよいのです。

（注）正確にいえば、「高いところに着いたときに速度 0 になる」わけではなく、勢い余って「水槽の中で渦を作る」こともあり、それは水どうしあるいは水と水槽面との摩擦で熱に変わり「水槽の水の温度が少し高くなる」ことになります。
ただ、それは定量的に求めるのが難しいので、仮想的に「高いところに着いたときに速度 0 になる」として「熱エネルギーになるなどのロスはない」としているのです。
問題文の「なめらかなパイプを通して」をいうことがそんな「ロスで熱エネルギーに変わることは無視する」と言っているのです。本当は「くみ上げた水槽で熱エネルギーに変わるロスは発生しない」というような仮定も必要でしょう。
高校物理の問題では、「書いてないけど、理想的な状態を仮定する」ということが多いです。「摩擦がない」とか「空気の抵抗はない」とか「温度変化はない」とか。

＞②ものすごく屁理屈のような質問なのですが、ポンプを動かしてから２分間たって、止めた瞬間というのは、5.0m未満の高さのパイプに詰まってる水というのがあるわけですよね？
そのパイプに詰まった水にした仕事は考えなくていいのでしょうか？

「動かす前」にも詰まっていたので、その分は「動かす前後で差し引きゼロ」ということです。
あくまで「最終状態 - 初期状態」の差で求めるということですから。

銀鱗 · Answer

１．水が移動する仕事量と、上で水が溜まった時の位置エネルギーが等しいから。

２．パイプ内に水が無い状態から仕事をしたという事であれば、揚水した後は空になるとするわけだ。パイプ内に残った水は落ちることでマイナス方向の仕事をする。
もしも揚水後にパイプ内に水が詰まったままなら、初めの状態も詰まった状態から始めることになる。
だからパイプ内に残った水については考えなくても良い。

・・・余談・・・

その問題、かなり考えて作られているようですが、詰めが甘い。
設問中にある「なめらかなパイプ」は「パイプ内面の抵抗によるエネルギー損失は無いものとする」とする文章に置き換えられます。
しかし、5m揚水するけど、上に貯まった水の水面は上昇する。
すると余計に水を上まで上げなきゃならなくなる。
いやあ。詰めが甘い。
「揚水した水の水面は一定に保つように工夫されている」ことを示す文章が欲しいですね。

Tacosan · Answer

2 についていえば, まあその通りなんだけど.... でも, この問題だと考えようもないんじゃない? 実際に計算しようとしたら, パイプの断面積が必要だよね.

で 1 だけど, 確かに「水が得た運動エネルギー」もポンプのした仕事に由来する. あとは, 日本語の問題としてそれを「重力に逆らってした」仕事というかどうか, だけ.

高校物理の力学的エネルギーについて質問です。 広い貯水池の水面から5.0mの高さのところへ、水面から

1,

あなたが気にしている通り

NO.4補足

No.3 です。

＞①この問題の解答を見ると、位置エネルギーの増加分が仕事にあたるから〜というように解いています。

１．水が移動する仕事量と、上で水が溜まった時の位置エネルギーが等しいから。

2 についていえば, まあその通りなんだけど.... でも, この問題だと考えようもないんじゃない? 実際に計算しようとしたら, パイプの断面積が必要だよね.

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