無限級数の収束発散について調べ、収束する場合はその和を求めよ。という問題なのですが、解説をみても分か

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質問者：にぃに
質問日時：2018/03/05 13:03
回答数：3件

無限級数の収束発散について調べ、収束する場合はその和を求めよ。という問題なのですが、解説をみても分からないので分かりやすく教えてください。。
まずなんで最初S_2nとなるのかが分かりません。。

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回答 (3件)

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No.3

回答者： sasa-san
回答日時：2018/03/05 15:57

2nになっているのは項の数だからでしょうね。

1 +1/3 +1/3² + … +1/3^(n-1)　：項の数はn個
1/2 +1/2² +1/2³ + … +1/2^n　：項の数はn個

つまり、
1 +1/2 + … +1/3^(n-1) +1/2^n + …
という無限級数において、
1/2^n が第2n項というわけです。

さて、わからないのは計算部分だと思うので解説をしておきます。

S=1+a²+a³　という式があったとします。
両辺 1-a をかけてみると
S・(1-a) =(1+a²+a³)(1-a) =1+a²+a³ -(a²+a³+a⁴) =1-a⁴
となるのだから
S=(1-a⁴)/(1-a)
と表すことができます。
これを拡張すると、
S=1+a²+ … +a^(n-1)
ならば、
S=(1 -a^n)/(1-a)
と式変形できることがわかります。

したがってこれを適用すると
1 +1/3 +1/3² + … +1/3^(n-1) =(1 -1/3^n)/(1 -1/3)

1/2 +1/2² +1/2³ + … +1/2^n
=1/2・{1 +1/2 +1/2²+ … +1/2^(n-1)}
=1/2・(1 -1/2^n)/(1 -1/2)
となるわけです。

よってこれらを計算して
S[2n]=(1 -1/3^n)/(1 -1/3) +1/2・(1 -1/2^n)/(1 -1/2)
=3/2 ・(1 -1/3^n) +(1 -1/2^n)

さて、これは2n項までの和なので、1項違いの2n-1項までの和も考えます。
すると、第2n項が足りないだけなので
S[2n] -S[2n-1]=1/2^n
ということは明らかです。
あとはこの二つの極限を考えるだけとなります。

さて、なぜ二つの極限を考えるのかですが、
要するに、奇数項と偶数項で違いがあるのかを調べているだけなのです。
すなわち、
一致する場合は収束する
一致しない場合は発散する
というわけです。
n→∞ とするとき、nが奇数か偶数かで収束値が変化したら
収束したとは言えませんからね。

これらを踏まえて、もう一度復習してみてください。